ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Решить систему: $\begin{cases} x^4 + y^4 = 17 (x+y)^2 \\ xy = 2 (x+y) \end{cases}$.


Решение:


Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

$(x+y)^2 = \frac {x^2y^2}{4}$.

Подставим в первое уравнение

$x^4 + y^4 = \frac{17}{4} x^2y^2$,

т.е.

$(x^2 - y^2)^2 = \frac{9}{4} x^2y^2$,

откуда

$x^2 - y^2 = \pm \frac{3}{2} xy$,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

$x^2 - y^2 = \pm 3 (x + y)$,

откуда

$(x+y)(x-y \pm 3) = 0$.

Если $x+y = 0$, то и $xy = 0$, следовательно,

$\begin{cases} x_1 = 0 \\ y_1 = 0 \end{cases}$.

Если $x - y = 3$, то, подставляя во второе уравнение данной системы $y = x-3$, придем к уравнению $x^2 - 7x + 6 = 0$, с помощью которого найдем два решения системы:

$\begin{cases} x_2 = 1 \\ y_2 = -2 \end{cases}$; $\begin{cases} x_3 = 6 \\ y_3 = 3 \end{cases}$.

Если же $x - y = -3$, то аналогично получим

$\begin{cases} x_4 = -2 \\ y_4 = 1 \end{cases}$; $\begin{cases} x_5 = 3 \\ y_5 = 6 \end{cases}$.

Производим проверку.
Ответ. $(0, 0); (1, -2); (6, 3); (-2, 1); (3, 6)$.