Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2349
2019-03-23 
Решить систему: $\begin{cases} 4 \frac {y+z}{y^2z^2} = 3x \\ 4 \frac {x+z}{x^2z^2} = 3y \\ \frac {x+y}{x^2y^2} = 2z \end{cases}$.
Решение:
Умножив первое уравнение на $xy^2z^2$, а второе - на $x^2yz^2$, получим у первых двух уравнений равные правые части:
$\begin{cases} 4x (y +z) = 3x^2y^2z^2 \\ 4y (x+z) = 3x^2y^2z^2 \end{cases}$.
При этом могут быть получены посторонние решения, у которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.
Сравним левые части полученных уравнений
$4z(x -у) = 0$.
Так как $z \neq 0$, то $x = у$. Из третьего уравнения системы получаем $z = \frac{1}{x^3}$. Подставим в первое уравнение
$4x^4 + 1 = 0$.
Уравнение имеет только мнимые решения. Чтобы найти их, разложим левую часть последнего уравнения на множители:
$4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2 = (2x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$.
Получаем четыре значения $x$:
$x_{1,2} = \frac {1 \pm i}{2}$, $x_{3,4} = \frac {-1 \pm i}{2}$.
Так как $у = x$, a $z = \frac{1}{ x^3}$, то находим четыре решения системы. Производим проверку.
Ответ. $\left ( \frac{1 + i}{2}, \frac{1+i}{2}, -2 (1 + i) \right ); \left ( \frac{1-i}{2}, \frac{1-i}{2}, 2(i-1) \right ); \left ( \frac{i-1}{2}, \frac{i-1}{2}, 2(1-i) \right ); \left (- \frac{1 + i}{2}, - \frac{1 + i}{2}, 2(1+i) \right )$.
Решить систему: $\begin{cases} 4 \frac {y+z}{y^2z^2} = 3x \\ 4 \frac {x+z}{x^2z^2} = 3y \\ \frac {x+y}{x^2y^2} = 2z \end{cases}$.
Решение:
Умножив первое уравнение на $xy^2z^2$, а второе - на $x^2yz^2$, получим у первых двух уравнений равные правые части:
$\begin{cases} 4x (y +z) = 3x^2y^2z^2 \\ 4y (x+z) = 3x^2y^2z^2 \end{cases}$.
При этом могут быть получены посторонние решения, у которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.
Сравним левые части полученных уравнений
$4z(x -у) = 0$.
Так как $z \neq 0$, то $x = у$. Из третьего уравнения системы получаем $z = \frac{1}{x^3}$. Подставим в первое уравнение
$4x^4 + 1 = 0$.
Уравнение имеет только мнимые решения. Чтобы найти их, разложим левую часть последнего уравнения на множители:
$4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2 = (2x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$.
Получаем четыре значения $x$:
$x_{1,2} = \frac {1 \pm i}{2}$, $x_{3,4} = \frac {-1 \pm i}{2}$.
Так как $у = x$, a $z = \frac{1}{ x^3}$, то находим четыре решения системы. Производим проверку.
Ответ. $\left ( \frac{1 + i}{2}, \frac{1+i}{2}, -2 (1 + i) \right ); \left ( \frac{1-i}{2}, \frac{1-i}{2}, 2(i-1) \right ); \left ( \frac{i-1}{2}, \frac{i-1}{2}, 2(1-i) \right ); \left (- \frac{1 + i}{2}, - \frac{1 + i}{2}, 2(1+i) \right )$.
