Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2347
2019-03-23 
Решить систему
$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ xy + yz - zx = - 4 \\ x^3 + y^3 - z^3 = 1 \end{cases}$.
Решение:
Третье уравнение можно записать так:
$(x +у) (x^2 - xy +y^2) + (z- 1) (z^2 + z + 1) = 0$.
Из первого уравнения мы знаем, что $х + у = 1 - z$. Поэтому
$(1-z)(x^2 - xy + y^2-z^2 - z - 1) = 0$.
Если $z = 1$, то $x + y = 0$. Тогда из второго уравнения получим $xy = -4$. B итоге - два решения:
$\begin{cases} x_1 = 2 \\ y_1 = -2 \\ z_1 = 1 \end{cases}$, $\begin{cases} x_2 = -2 \\ y_2 = 2 \\ z_2 = 1 \end{cases}$.
Если же $1-z \neq 0$, то
$x^2 - xy + y^2 - z^2 - z - 1 = 0$. (1)
Чтобы упростить уравнение (1), снова воспользуемся тем, что $x + у = 1 -z$, а потому
$x^2 + 2xy + у^2 = 1 - 2z + z^2$. (2)
Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получим
$xy = -z$.
Теперь второе уравнение исходной системы
$xy + z (x + У) = -4$
можно переписать как уравнение относительно $z$
$z$ $-z + z(1 - z) = -4$.
Решая его, найдем, что либо $z = -2$, либо $z = 2$. В первом случае мы приходим к системе
$\begin{cases} xy = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} x_2 = 1 \\ y_3 = 2 \\ z_3 = -2 \end{cases}$; $\begin{cases} x_4 = 2 \\ y_4 = 1 \\ z_4 = -2 \end{cases}$.
Bо втором случае получаем
$\begin{cases} xy = -2 \\ x + y = -1 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} x_5 = -2 \\ y_5 = 1 \\ z_5 = 2 \end{cases}$; $\begin{cases} x_6 = 1 \\ y_6 = -2 \\ z_6 = 2 \end{cases}$.
После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.
Данная система симметрична относительно $x, у$ и $z$. Поэтому одно ее решение (2, -2, 1) порождает $3! = 6$ решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.
C другой стороны, система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.
Ответ. $(2, -2, 1); (-2, 2, 1); (1, 2, -2); (2, 1, -2); (-2, 1, 2); (1, -2, 2)$.
Решить систему
$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ xy + yz - zx = - 4 \\ x^3 + y^3 - z^3 = 1 \end{cases}$.
Решение:
Третье уравнение можно записать так:
$(x +у) (x^2 - xy +y^2) + (z- 1) (z^2 + z + 1) = 0$.
Из первого уравнения мы знаем, что $х + у = 1 - z$. Поэтому
$(1-z)(x^2 - xy + y^2-z^2 - z - 1) = 0$.
Если $z = 1$, то $x + y = 0$. Тогда из второго уравнения получим $xy = -4$. B итоге - два решения:
$\begin{cases} x_1 = 2 \\ y_1 = -2 \\ z_1 = 1 \end{cases}$, $\begin{cases} x_2 = -2 \\ y_2 = 2 \\ z_2 = 1 \end{cases}$.
Если же $1-z \neq 0$, то
$x^2 - xy + y^2 - z^2 - z - 1 = 0$. (1)
Чтобы упростить уравнение (1), снова воспользуемся тем, что $x + у = 1 -z$, а потому
$x^2 + 2xy + у^2 = 1 - 2z + z^2$. (2)
Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получим
$xy = -z$.
Теперь второе уравнение исходной системы
$xy + z (x + У) = -4$
можно переписать как уравнение относительно $z$
$z$ $-z + z(1 - z) = -4$.
Решая его, найдем, что либо $z = -2$, либо $z = 2$. В первом случае мы приходим к системе
$\begin{cases} xy = 2 \\ x + y = 3 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} x_2 = 1 \\ y_3 = 2 \\ z_3 = -2 \end{cases}$; $\begin{cases} x_4 = 2 \\ y_4 = 1 \\ z_4 = -2 \end{cases}$.
Bо втором случае получаем
$\begin{cases} xy = -2 \\ x + y = -1 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} x_5 = -2 \\ y_5 = 1 \\ z_5 = 2 \end{cases}$; $\begin{cases} x_6 = 1 \\ y_6 = -2 \\ z_6 = 2 \end{cases}$.
После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.
Данная система симметрична относительно $x, у$ и $z$. Поэтому одно ее решение (2, -2, 1) порождает $3! = 6$ решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.
C другой стороны, система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.
Ответ. $(2, -2, 1); (-2, 2, 1); (1, 2, -2); (2, 1, -2); (-2, 1, 2); (1, -2, 2)$.
