Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2346
2019-03-23 
Решить систему
$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x^2 + y^2 - z^2 = 20 \\ x^4 + y^4 - z^4 = 560 \end{cases}$.
Решение:
Возведем уравнение $x + y = -z$ в квадрат:
$x^2 + y^2 + 2xy = z^2$,
и сравним со вторым уравнением системы; найдем $xy = -10$.
Преобразуем сумму $x^4 + y^4$ из третьего уравнения следующим образом:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (20 + z^2)^2 - 200$,
где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для $ху$. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим
$z^2 = 9$, т.е. $z = \pm 3$.
Остается решить каждую из систем:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = -10 \end{cases}$; $\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = -10 \end{cases}$.
Производим проверку.
Ответ. $(-2, 5, -3); (5, -2, -3); (2, -5, 3); (-5, 2, 3)$.
Решить систему
$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x^2 + y^2 - z^2 = 20 \\ x^4 + y^4 - z^4 = 560 \end{cases}$.
Решение:
Возведем уравнение $x + y = -z$ в квадрат:
$x^2 + y^2 + 2xy = z^2$,
и сравним со вторым уравнением системы; найдем $xy = -10$.
Преобразуем сумму $x^4 + y^4$ из третьего уравнения следующим образом:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (20 + z^2)^2 - 200$,
где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для $ху$. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим
$z^2 = 9$, т.е. $z = \pm 3$.
Остается решить каждую из систем:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = -10 \end{cases}$; $\begin{cases} x + y = -3 \\ xy = -10 \end{cases}$.
Производим проверку.
Ответ. $(-2, 5, -3); (5, -2, -3); (2, -5, 3); (-5, 2, 3)$.
