ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Решить систему $\begin{cases} xy = x + y - z \\ xz = 2 (x - y + z) \\ yz = 3 (y - x + z) \end{cases}$.


Решение:


Из первого уравнения находим

$y - z = xy - x$.

Подставляя во второе, получим

$xz = 2 (x - xy + x)$,

т.е.

$xz = 2x (2 - y)$.

Если $x=0$, то система принимает вид

$\begin{cases} 0 = y - z \\ 0 = 2 (z - y) \\ yz = 3 (y+z) \end{cases}$, т.е. $y = z$ и $y^2 = 6y$.

Получаем два решения системы:

$\begin{cases} x_1 = 0 \\ y_1 = 0 \\ z_1 = 0 \end{cases}$,
$\begin{cases} x_2 = 0 \\ y_2 = 6 \\ z_2 = 6 \end{cases}$.

Если $x \neq 0$, то $z = 2 (2-y)$. Подставляем во второе и третье уравнения

$\begin{cases} x = xy - 3y + 4 \\ 7y - 2y^2 = -3xy + 9y \end{cases}$.

Если $y = 0$, то получим еще одно решение:

$\begin{cases} x_3 = 4 \\ y_3 = 0 \\ z_3 = 4 \end{cases}$.

Если $y \neq 0$, то $3x - 2y = 2$, откуда $x = \frac {2(y+1)}{3}$. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнений, которое превращается в квадратное уравнение относительно $y$:

$2y^2 - 9y + 10 = 0$,

откуда $y_4 = 2, y_5 = \frac{5}{2}$. Делаем проверку.
Ответ. $(0,0,0); (0,6,6);(4,0,4);(2,2,0); \left ( \frac{7}{3}, \frac{5}{2},-1 \right )$.