Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2344
2019-03-23 
Решить систему
$\begin{cases} x^2 + y + xy^2 + x = 18xy \\ x^4y^2 + y^2 + x^2y^4 + x^2 = 208x^2y^2 \end{cases}$.
Решение:
Если либо $x = 0$, либо $y = 0$, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение
$\begin{cases} x_1 = 0 \\ y_1 = 0 \end{cases}$.
Если $xy \neq 0$, то можно первое уравнение разделить на $xy$, а второе - на $x^2y^2$. Получим систему
$\begin{cases} x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 18 \\ x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} - 208 \end{cases}$.
Введем обозначения: $x + \frac{1}{x} = u$, $y + \frac{1}{y} = v$.
Возводя каждое из этих неравенств в квадрат, получим
$x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 - 2, y^2 + \frac{1}{y^2} = v^2 - 2$.
Система примет вид
$\begin{cases} u + v = 18 \\ u^2 + v^2 = 212 \end{cases}$.
Решая ее, найдем: $u_1 = 4, v_1 = 14; u_2 = 14, v_2 = 4$. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим $uv = 56$).
Остается решить две системы:
$\begin{cases} x + \frac{1}{x} = 4 \\ y + \frac{1}{y} = 14 \end{cases}$,
$\begin{cases} x + \frac{1}{x} = 14 \\ y + \frac{1}{y} = 4 \end{cases}$,
в результате чего получим восемь решений.
Ответ. $(0,0); (2 + \sqrt {3}); (2 + \sqrt {3}, 7 - 4 \sqrt {3}); (2 - \sqrt {3}, 7 + 4 \sqrt {3}); (2 - \sqrt {3}, 7 - 4 \sqrt {3}); (7 + 4 \sqrt {3}, 2 + \sqrt {3}); (7 + 4 \sqrt {3}, 2 - \sqrt {3}); (7 - 4 \sqrt {3}, 2 + \sqrt {3}); (7 - 4 \sqrt {3}, 2 - \sqrt {3})$.
Решить систему
$\begin{cases} x^2 + y + xy^2 + x = 18xy \\ x^4y^2 + y^2 + x^2y^4 + x^2 = 208x^2y^2 \end{cases}$.
Решение:
Если либо $x = 0$, либо $y = 0$, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение
$\begin{cases} x_1 = 0 \\ y_1 = 0 \end{cases}$.
Если $xy \neq 0$, то можно первое уравнение разделить на $xy$, а второе - на $x^2y^2$. Получим систему
$\begin{cases} x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 18 \\ x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} - 208 \end{cases}$.
Введем обозначения: $x + \frac{1}{x} = u$, $y + \frac{1}{y} = v$.
Возводя каждое из этих неравенств в квадрат, получим
$x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 - 2, y^2 + \frac{1}{y^2} = v^2 - 2$.
Система примет вид
$\begin{cases} u + v = 18 \\ u^2 + v^2 = 212 \end{cases}$.
Решая ее, найдем: $u_1 = 4, v_1 = 14; u_2 = 14, v_2 = 4$. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим $uv = 56$).
Остается решить две системы:
$\begin{cases} x + \frac{1}{x} = 4 \\ y + \frac{1}{y} = 14 \end{cases}$,
$\begin{cases} x + \frac{1}{x} = 14 \\ y + \frac{1}{y} = 4 \end{cases}$,
в результате чего получим восемь решений.
Ответ. $(0,0); (2 + \sqrt {3}); (2 + \sqrt {3}, 7 - 4 \sqrt {3}); (2 - \sqrt {3}, 7 + 4 \sqrt {3}); (2 - \sqrt {3}, 7 - 4 \sqrt {3}); (7 + 4 \sqrt {3}, 2 + \sqrt {3}); (7 + 4 \sqrt {3}, 2 - \sqrt {3}); (7 - 4 \sqrt {3}, 2 + \sqrt {3}); (7 - 4 \sqrt {3}, 2 - \sqrt {3})$.
