Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2343
2019-03-23 
При каких значениях $a$ система
$\begin{cases} |x| + |y| = 1 \\ x^2 + y^2 = a \end{cases}$
имеет действительные решения? Найти эти решения.
Решение:
Уравнение $x^2 + y^2 = a$ при $a < 0$ не имеет решений. Если $a \geq 0$, то это - уравнение окружности радиуса $\sqrt {a}$. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис.).
При увеличении $a$ окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках, и наконец, будет описана около квадрата.
Итак, если $\sqrt {a} < \frac{ \sqrt {2}}{2}$, то система не имеет решений.
Если $\sqrt {a} = \frac{\sqrt {2}}{2}$, т.е. $a = \frac{1}{2}$, получим четыре решения: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$ и три симметричных: $\left (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ), \left (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right ), \left ( \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right )$.
Если $\frac{1}{2} < a < 1$, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что $|x| \cdot |y| = \frac {1-a}{2}$. В результате придем к системе
$\begin{cases} |x| \cdot |y| = \frac {1-a}{2} \\ |x| + |y| = 1 \end{cases}$,
которая при положительных $x$ и $y$ имеет два решения:
$\begin{cases} x_1 = \frac{1}{2} (1+ \sqrt {2a - 1} \\ y_1 = \frac{1}{2} (1 - \sqrt {2a - 1} \end{cases}$, $\begin{cases} x_2 = \frac{1}{2} (1 - \sqrt {2a - 1} \\ y_2 = \frac{1}{2} (1 + \sqrt {2a - 1} \end{cases}$.
К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.
Если $a = 1$, то у системы четыре решения: $x_1 = 1, y_1 = 0; x_2 = 0, y_2 = 1; x_3 = -1, y_3 = 0, x_4 = 0, y_4 = -1$. При $a > 1$ решений нет.
При каких значениях $a$ система
$\begin{cases} |x| + |y| = 1 \\ x^2 + y^2 = a \end{cases}$
имеет действительные решения? Найти эти решения.
Решение:
Уравнение $x^2 + y^2 = a$ при $a < 0$ не имеет решений. Если $a \geq 0$, то это - уравнение окружности радиуса $\sqrt {a}$. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис.).
При увеличении $a$ окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках, и наконец, будет описана около квадрата.
Итак, если $\sqrt {a} < \frac{ \sqrt {2}}{2}$, то система не имеет решений.
Если $\sqrt {a} = \frac{\sqrt {2}}{2}$, т.е. $a = \frac{1}{2}$, получим четыре решения: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$ и три симметричных: $\left (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ), \left (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right ), \left ( \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \right )$.
Если $\frac{1}{2} < a < 1$, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что $|x| \cdot |y| = \frac {1-a}{2}$. В результате придем к системе
$\begin{cases} |x| \cdot |y| = \frac {1-a}{2} \\ |x| + |y| = 1 \end{cases}$,
которая при положительных $x$ и $y$ имеет два решения:
$\begin{cases} x_1 = \frac{1}{2} (1+ \sqrt {2a - 1} \\ y_1 = \frac{1}{2} (1 - \sqrt {2a - 1} \end{cases}$, $\begin{cases} x_2 = \frac{1}{2} (1 - \sqrt {2a - 1} \\ y_2 = \frac{1}{2} (1 + \sqrt {2a - 1} \end{cases}$.
К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.
Если $a = 1$, то у системы четыре решения: $x_1 = 1, y_1 = 0; x_2 = 0, y_2 = 1; x_3 = -1, y_3 = 0, x_4 = 0, y_4 = -1$. При $a > 1$ решений нет.
