Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2342
2019-03-23 
Решить в области действительных чисел систему $\begin{cases} |x + y| = x - y + a \\ |x - y| = x + y + b \end{cases}$.
Решение:
Если $x \geq -y$ и $x \geq y$, то получим систему
$\begin{cases} x + y = x - y + a \\ x - y = x + y + b \end{cases}$, $\begin{cases} y = \frac{a}{2} \\ y = - \frac{b}{2} \end{cases}$,
которая имеет решение
$\begin{cases} x \geq \frac{|a|}{2} \\ y = \frac{a}{2} \end{cases}$
при условии $a = - b$.
Если $x \geq -y$, но $x \leq y$, то
$\begin{cases} x + y = x - y + a \\ y - x = x + y + b \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = - \frac{a}{2} \\ y = - \frac{b}{2} \end{cases}$.
Подставляя найденные значения $x$ и $y$ в ограничения, получим $b \geq |a|$.
Наконец, если $x \leq -y$, $x \leq y$, получим
$\begin{cases} -x -y = x - y + a \\ y - x = x + y + b \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = - \frac{a}{2} \\ x = - \frac{b}{2} \end{cases}$.
Это значит, что $a = b$. Так как $y \geq x$, но $y \leq - x$, то $-x \geq 0$. Окончательно получим при $a = b \geq 0$ $\begin{cases} x = - \frac{a}{2} \\ - \frac{a}{2} \leq y \leq \frac{a}{2} \end{cases}$.
Ответ. При $a = -b, x \geq \frac{|a|}{2}, y = \frac{a}{2}$; при $a \geq |b|, x = - \frac{b}{2}, y = \frac{a}{2}$; при $b \geq |a|, x = - \frac{a}{2}, y = - \frac{b}{2}$; при $a - b \geq 0, x = - \frac{a}{2}, - \frac{a}{2} \leq y \leq \frac{a}{2}$.
Решить в области действительных чисел систему $\begin{cases} |x + y| = x - y + a \\ |x - y| = x + y + b \end{cases}$.
Решение:
Если $x \geq -y$ и $x \geq y$, то получим систему
$\begin{cases} x + y = x - y + a \\ x - y = x + y + b \end{cases}$, $\begin{cases} y = \frac{a}{2} \\ y = - \frac{b}{2} \end{cases}$,
которая имеет решение
$\begin{cases} x \geq \frac{|a|}{2} \\ y = \frac{a}{2} \end{cases}$
при условии $a = - b$.
Если $x \geq -y$, но $x \leq y$, то
$\begin{cases} x + y = x - y + a \\ y - x = x + y + b \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = - \frac{a}{2} \\ y = - \frac{b}{2} \end{cases}$.
Подставляя найденные значения $x$ и $y$ в ограничения, получим $b \geq |a|$.
Наконец, если $x \leq -y$, $x \leq y$, получим
$\begin{cases} -x -y = x - y + a \\ y - x = x + y + b \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = - \frac{a}{2} \\ x = - \frac{b}{2} \end{cases}$.
Это значит, что $a = b$. Так как $y \geq x$, но $y \leq - x$, то $-x \geq 0$. Окончательно получим при $a = b \geq 0$ $\begin{cases} x = - \frac{a}{2} \\ - \frac{a}{2} \leq y \leq \frac{a}{2} \end{cases}$.
Ответ. При $a = -b, x \geq \frac{|a|}{2}, y = \frac{a}{2}$; при $a \geq |b|, x = - \frac{b}{2}, y = \frac{a}{2}$; при $b \geq |a|, x = - \frac{a}{2}, y = - \frac{b}{2}$; при $a - b \geq 0, x = - \frac{a}{2}, - \frac{a}{2} \leq y \leq \frac{a}{2}$.
