ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Найти действительные решения уравнения $\left |x^2 - \frac{3}{2}x - 1 \right | = -x^2 - 4x + \beta$ и определить, при каких значениях $\beta$ оно имеет единственное действительное решение.


Решение:


Рассмотрим два случая.

Если $2x^2-3x-2 \geq 0$, т.е. $x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 2$, получим уравнение

$4x^2 + 5x - 2 (1 + \beta) = 0$.

Корни этого уравнения $x_{1,2} = \frac {-5 \pm \sqrt {57 + 32 \beta}}{8}$ должны лежать вне интервала $\left (- \frac{1}{2}, 2 \right )$.

Неравенство

$\frac {-5- \sqrt {57 + 32 \beta}}{8} \leq - \frac{1}{2}$

удовлетворяется при $\beta \geq - \frac{57}{32}$. Больше двух этот корень никогда стать не может.

Для $x_2$ нужно решить два неравенства:

$\frac {-5 + \sqrt {57 + 32 \beta}}{8} \leq - \frac{1}{2}$, $\frac {-5 + \sqrt {57 + 32 \beta}}{8} \geq 2$.

Первое выполняется при $- \frac{57}{32} \leq \beta \leq - \frac{7}{4}$, а второе при $\beta \geq 12$.

Пусть теперь $2x^2 - 3x - 2 < 0$, т.е. $- \frac{1}{2} < x < 2$. Данное уравнение станет линейным и мы найдем

$x_3 = \frac {2(\beta - 1)}{11}$.

Решим неравенство

$- \frac{1}{2} < \frac {2 (\beta - 1)}{11} < 2$

и получим

$- \frac{7}{4} < \beta < 12$.

Итак, при $\beta = - \frac{57}{32}$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, а корень $x_3$ не существует, т.е. уравнение имеет единственное решение $x = - \frac{5}{8}$. Если $- \frac{57}{32} \beta \leq - \frac{7}{4}$, то уравнение имеет два решение: $x_1$ и $x_2$; если $- \frac{7}{4} < \beta \leq - \frac{7}{4}$, то $x_1$ и $x_2$; а если $\beta \geq 12$, то два решения: $x_1$ и $x_2$.

Остается проверить, что $x_1$ и $x_3$ не равны при $- \frac{7}{4} < \beta < 12$, в чем легко убедиться непосредственно.
Ответ. $\beta = - \frac{57}{32}$.