Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2338
2019-03-23 
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt {|x| = 1} - \sqrt {|x|} = a$, $a$ - действительное число.
Решение:
Перенесем $\sqrt {|x|}$ в правую часть уравнения:
$\sqrt {|x| + 1} = a + \sqrt{ |x|}$,
и возведем обе части в квадрат. Получим
$1 = a^2 + 2a \sqrt {|x|}$,
откуда при $а \neq 0$
$\sqrt {|x|} = \frac {1-a^2}{2a}, |x| = \frac {(1-a^2)^2}{4a^2}, x = \pm \frac {(1-a^2)^2}{4a^2}$.
Делаем проверку, подставляя найденное значение $x$ в данное уравнение. B левой части получим
$\sqrt {\frac {(a^2 - 1)^2 +4a^2}{4a^2}} - \sqrt {\frac {(a^2-1)^2}{4a^2}} = \frac {a^2+1}{2|a|}- \frac {|a^2 - 1|}{2 |a|} = \frac {a^2+1}{2 |a|} - \frac {|(a+1)(a-1)|}{2|a|}$.
Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения -1, 0, +1 параметра $а$ разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что $а > 0$, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.
Если $0 < а \leq 1$, то
$\frac {a^2 +1}{2 |a|} - \frac {a^2 - 1}{2 |a|} = \frac {a^2+1-1+a^2}{2a} = a$.
Если же $a > 1$, то
$\frac {a^2 + 1}{2 |a|} - \frac {|a^2 - 1|}{2|a|} = \frac {a^2+1-a^2+1}{2a} = 1/a$.
Число $1/a$ равно числу $a$ только при $a = \pm 1$, а по предположению $a > 1$.
Ответ. $x = \pm \frac {(1-a^2)^2}{4a^2}$ если $0 < a \leq 1$.
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt {|x| = 1} - \sqrt {|x|} = a$, $a$ - действительное число.
Решение:
Перенесем $\sqrt {|x|}$ в правую часть уравнения:
$\sqrt {|x| + 1} = a + \sqrt{ |x|}$,
и возведем обе части в квадрат. Получим
$1 = a^2 + 2a \sqrt {|x|}$,
откуда при $а \neq 0$
$\sqrt {|x|} = \frac {1-a^2}{2a}, |x| = \frac {(1-a^2)^2}{4a^2}, x = \pm \frac {(1-a^2)^2}{4a^2}$.
Делаем проверку, подставляя найденное значение $x$ в данное уравнение. B левой части получим
$\sqrt {\frac {(a^2 - 1)^2 +4a^2}{4a^2}} - \sqrt {\frac {(a^2-1)^2}{4a^2}} = \frac {a^2+1}{2|a|}- \frac {|a^2 - 1|}{2 |a|} = \frac {a^2+1}{2 |a|} - \frac {|(a+1)(a-1)|}{2|a|}$.
Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения -1, 0, +1 параметра $а$ разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что $а > 0$, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.
Если $0 < а \leq 1$, то
$\frac {a^2 +1}{2 |a|} - \frac {a^2 - 1}{2 |a|} = \frac {a^2+1-1+a^2}{2a} = a$.
Если же $a > 1$, то
$\frac {a^2 + 1}{2 |a|} - \frac {|a^2 - 1|}{2|a|} = \frac {a^2+1-a^2+1}{2a} = 1/a$.
Число $1/a$ равно числу $a$ только при $a = \pm 1$, а по предположению $a > 1$.
Ответ. $x = \pm \frac {(1-a^2)^2}{4a^2}$ если $0 < a \leq 1$.
