Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2337
2019-03-23 
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt {a - {a +x} = x}$, $a$ - действительное число.
Решение:
Обозначив $\sqrt {a+x} = y$, получим систему уравнений
$\begin{cases} \sqrt {a+x} = y \\ \sqrt {a-y} = x \end{cases}$, или $\begin{cases} a + x = y^2 \\ a - y = x^2 \end{cases}$.
Вычитаем из первого уравнения второе:
$x+y = (y - x)(x + у)$.
Если $x + у = 0$, то $x - у = 0$, поскольку и $x$, и $у$ неотрицательны. Так как $у = \sqrt {а + х}$, то из $x = у = 0$ следует, что $a = 0$. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.
Если $x + у \neq 0$, то $у-x- 1 = 0$, откуда $1 + x = \sqrt {a + x}$ и $x^2 + x + 1 - а = 0$. Решая квадратное уравнение, найдем $x_{1,2} = \frac {-1 \pm \sqrt {4a - 3}}{2}$. Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.
Bо-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. $a \geq \frac{3}{4}$.
Bо-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней $x_2 = \frac {-1 - \sqrt {4a-3}}{2}$ при всех $а \geq 3/4$ отрицателен, а потому не подходит. Другой корень $x_1 = \frac {-1 + \sqrt {4a-3}}{2}$ больше или равен нулю, если $\sqrt {4a - 3} \geq 1$, т. е. $a \geq 1$.
Проверкой убеждаемся, что $x_1 = \frac {-1 + \sqrt {4a - 3}}{2}$ удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя $x_1$ в это уравнение, получим
$\sqrt {a - \sqrt {a + x_1}} = x_1$,
что выполняется одновременно с равенством
$a - \sqrt {a + x_1} = x_1^2$,
так как $x_1 \geq 0$. Значение $x_1$ было найдено из уравнения $\sqrt {a+x}= 1 + x$. Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:
$a - 1 - x_1 = x_1^2$.
Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили $x_1$ то проверку можно считать законченной.
Ответ. $х= 0$, если $a = 0$, и $x = \frac {-1 + \sqrt {4a - 3}}{2}$, если $a \geq 1$.
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt {a - {a +x} = x}$, $a$ - действительное число.
Решение:
Обозначив $\sqrt {a+x} = y$, получим систему уравнений
$\begin{cases} \sqrt {a+x} = y \\ \sqrt {a-y} = x \end{cases}$, или $\begin{cases} a + x = y^2 \\ a - y = x^2 \end{cases}$.
Вычитаем из первого уравнения второе:
$x+y = (y - x)(x + у)$.
Если $x + у = 0$, то $x - у = 0$, поскольку и $x$, и $у$ неотрицательны. Так как $у = \sqrt {а + х}$, то из $x = у = 0$ следует, что $a = 0$. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного уравнения.
Если $x + у \neq 0$, то $у-x- 1 = 0$, откуда $1 + x = \sqrt {a + x}$ и $x^2 + x + 1 - а = 0$. Решая квадратное уравнение, найдем $x_{1,2} = \frac {-1 \pm \sqrt {4a - 3}}{2}$. Остается исследовать, при каких значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному уравнению.
Bо-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным, т. е. $a \geq \frac{3}{4}$.
Bо-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрицательным. Один из корней $x_2 = \frac {-1 - \sqrt {4a-3}}{2}$ при всех $а \geq 3/4$ отрицателен, а потому не подходит. Другой корень $x_1 = \frac {-1 + \sqrt {4a-3}}{2}$ больше или равен нулю, если $\sqrt {4a - 3} \geq 1$, т. е. $a \geq 1$.
Проверкой убеждаемся, что $x_1 = \frac {-1 + \sqrt {4a - 3}}{2}$ удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя $x_1$ в это уравнение, получим
$\sqrt {a - \sqrt {a + x_1}} = x_1$,
что выполняется одновременно с равенством
$a - \sqrt {a + x_1} = x_1^2$,
так как $x_1 \geq 0$. Значение $x_1$ было найдено из уравнения $\sqrt {a+x}= 1 + x$. Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:
$a - 1 - x_1 = x_1^2$.
Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили $x_1$ то проверку можно считать законченной.
Ответ. $х= 0$, если $a = 0$, и $x = \frac {-1 + \sqrt {4a - 3}}{2}$, если $a \geq 1$.
