Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2336
2019-03-23 
Найти действительный корень уравнения: $\frac {(a-x) \sqrt[4]{x-b} + (x-b) \sqrt[4]{a-x}}{\sqrt[4]{a-x} + \sqrt[4]{x-b}} = \frac{a-b}{2}$, $a$ и $b$ - действительные числа.
Решение:
Введем новые неизвестные:
$u = \sqrt [4]{a-x}$, $v = \sqrt [4]{x-b}$,
т.е. $u^4 + v^4 = a - b$.
Получаем систему
$\begin{cases} u^4 = v^4 = a - b \\ \frac {v^4u + u^4v}{u+v} = \frac {a-b}{2} \end{cases}$.
Заменяя во втором уравнении $a-b$ на $u^4 + v^4$, получим
$\frac {v^4u + u^4v}{u+v} = \frac {u^4+v^4}{2}$,
откуда
$u^5 + v^5 - uv^4 - u^4v = 0$, где $u + v \neq 0$,
т.е.
$u^4(u-v) - v^4(u-v) = 0$,
а потому
$(u-v)^2(u^2+v^2)(u+v) = 0$.
Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается
$u = v$, т.е. $a-x = x - b$,
и, следовательно,
$x = \frac{a+b}{2}$.
Проверкой убеждаемся, что это - корень исходного уравнения, если $a > b$.
Ответ. При $a > b \: x = \frac{a+b}{2}$.
Найти действительный корень уравнения: $\frac {(a-x) \sqrt[4]{x-b} + (x-b) \sqrt[4]{a-x}}{\sqrt[4]{a-x} + \sqrt[4]{x-b}} = \frac{a-b}{2}$, $a$ и $b$ - действительные числа.
Решение:
Введем новые неизвестные:
$u = \sqrt [4]{a-x}$, $v = \sqrt [4]{x-b}$,
т.е. $u^4 + v^4 = a - b$.
Получаем систему
$\begin{cases} u^4 = v^4 = a - b \\ \frac {v^4u + u^4v}{u+v} = \frac {a-b}{2} \end{cases}$.
Заменяя во втором уравнении $a-b$ на $u^4 + v^4$, получим
$\frac {v^4u + u^4v}{u+v} = \frac {u^4+v^4}{2}$,
откуда
$u^5 + v^5 - uv^4 - u^4v = 0$, где $u + v \neq 0$,
т.е.
$u^4(u-v) - v^4(u-v) = 0$,
а потому
$(u-v)^2(u^2+v^2)(u+v) = 0$.
Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается
$u = v$, т.е. $a-x = x - b$,
и, следовательно,
$x = \frac{a+b}{2}$.
Проверкой убеждаемся, что это - корень исходного уравнения, если $a > b$.
Ответ. При $a > b \: x = \frac{a+b}{2}$.
