Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2335
2019-03-23 
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt[5]{(x-2)(x-32)} - \sqrt[5]{(x-1)(x-33)} = 1$.
Решение:
Введем новые неизвестные:
$\sqrt [5]{x^2 - 34x +64 = u}$, $\sqrt [5]{x^2 - 34x + 33} = v$.
Получим систему
$\begin{cases} u - v = 1 \\ u^5 - v^5 = 31 \end{cases}$.
Обозначим $u+v = p$. Так как, в силу первого уравнения системы, $u - v = 1$, то $u = \frac{p+1}{2}, v = \frac{p-1}{2}$. Второе уравнение системы примет вид
$\left ( \frac {p+1}{2} \right )^5 - \left (\frac{p-1}{2} \right )^5 = 31$,
или после очевидных упрощений
$p^4 + 2p^2 - 99 = 0$.
Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня: $p_1 = -3, p_2 = 3$. Зная $P_1$ и $p_2$б найдем $u_1 = -1, u_2$, откуда получим два уравнения для определения значений $x$:
$x^2 - 34x + 65 = 0$, $x^2 - 34x + 32 = 0$.
Решив эти уравнения, найдем четыре корня.
Ответ. $x_{1,2} = 17 \pm \sqrt {257}$; $x_{3,4} = 17 \pm \sqrt {224}$.
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt[5]{(x-2)(x-32)} - \sqrt[5]{(x-1)(x-33)} = 1$.
Решение:
Введем новые неизвестные:
$\sqrt [5]{x^2 - 34x +64 = u}$, $\sqrt [5]{x^2 - 34x + 33} = v$.
Получим систему
$\begin{cases} u - v = 1 \\ u^5 - v^5 = 31 \end{cases}$.
Обозначим $u+v = p$. Так как, в силу первого уравнения системы, $u - v = 1$, то $u = \frac{p+1}{2}, v = \frac{p-1}{2}$. Второе уравнение системы примет вид
$\left ( \frac {p+1}{2} \right )^5 - \left (\frac{p-1}{2} \right )^5 = 31$,
или после очевидных упрощений
$p^4 + 2p^2 - 99 = 0$.
Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня: $p_1 = -3, p_2 = 3$. Зная $P_1$ и $p_2$б найдем $u_1 = -1, u_2$, откуда получим два уравнения для определения значений $x$:
$x^2 - 34x + 65 = 0$, $x^2 - 34x + 32 = 0$.
Решив эти уравнения, найдем четыре корня.
Ответ. $x_{1,2} = 17 \pm \sqrt {257}$; $x_{3,4} = 17 \pm \sqrt {224}$.
