Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2333
2019-03-23 
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x - 3} = \sqrt[3]{12 (x-1)}$.
Решение:
Возведем данное уравнение в куб:
$3x - 3 + 3 \sqrt [3]{x(2x-3)} \sqrt[3]{12(x-1)}= 9 (x-1)$.
Стоящий в скобках двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:
$3 \sqrt [3]{x(2x-3)} \sqrt [3]{12(x-1)} = 9(x-1)$.
Tакая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении $а + b = с$ в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях $а, b$ и $с$, что и данное равенство. После замены же мы получим
$а^3 + b^3 + 3abc = с^3$.
Это равенство удовлетворяется при $a = b - 1, с = - 1$, в то время как исходное равенство $а+b = с$ при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.
Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим
$4x(2x-3)(x-1) = 9(x-1)^3$.
Oдин корень этого уравнения $х_1 = 1$; остается квадратное уравнение
$x^2 - 6x+9 = 0, x_{2,3} = 3$.
Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.
Ответ. $x_1 = 1$; $x_{2,3} = 3$.
Найти действительный корень уравнения: $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x - 3} = \sqrt[3]{12 (x-1)}$.
Решение:
Возведем данное уравнение в куб:
$3x - 3 + 3 \sqrt [3]{x(2x-3)} \sqrt[3]{12(x-1)}= 9 (x-1)$.
Стоящий в скобках двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:
$3 \sqrt [3]{x(2x-3)} \sqrt [3]{12(x-1)} = 9(x-1)$.
Tакая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении $а + b = с$ в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях $а, b$ и $с$, что и данное равенство. После замены же мы получим
$а^3 + b^3 + 3abc = с^3$.
Это равенство удовлетворяется при $a = b - 1, с = - 1$, в то время как исходное равенство $а+b = с$ при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.
Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим
$4x(2x-3)(x-1) = 9(x-1)^3$.
Oдин корень этого уравнения $х_1 = 1$; остается квадратное уравнение
$x^2 - 6x+9 = 0, x_{2,3} = 3$.
Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.
Ответ. $x_1 = 1$; $x_{2,3} = 3$.
