ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-23   
Решить уравнение $x^2 + \frac {9x^2}{(3+x)^2 = 7}$.


Решение:


Первый способ. Дополним стоящую слева сумму квадратов до полного квадрата:

$\left (x - \frac{3x}{3+x} \right )^2 + \frac {6x^2}{3+x} - 7 = 0$,

т.е.

$\left ( \frac {x^2}{3+x} \right )^2 + 6 \frac {x^2}{3+x} - 7 = 0$,

откуда получаем совокупность уравнений:

$\frac {x^2}{3+x} = - 7$, $\frac {x^2}{3+x} = 1$.

Корни первого: $x_{1,2} = \frac {-7 \pm i \sqrt {35}}{2}$; корни второго: $x_{3,4} = \frac {1 \pm \sqrt {13}}{2}$. Так как значения $x = -3$ среди корней нет, то это и есть корни исходного уравнения.

Второй способ. Введем новое неизвестное: $\frac {3x}{3+x} = u$, или $3x = 3u + xu$.

Получим систему

$\begin{cases} x^2 + u^2 = 7 \\ xu = 3 (x-u) \end{cases}$.

Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем к уравнению относительно $x-u$

$(x-u)^2 + 6 (x-u) - 7 = 0$,

откуда следует совокупность двух уравнений:

$x-u = -7$, $x-u = 1$.

Решая первое, получим

$x - \frac {3x}{3+x} = -7$, $x_{1,2} = \frac {-7 \pm i \sqrt{35}}{2}$,

а решая второе, найдем

$x - \frac {3x}{3+x} = 1$, $x_{3,4} = \frac {1 \pm \sqrt {13}}{2}$.
Ответ. $x_{1,2} = \frac {-7 \pm i \sqrt{35}}{2}$; $x_{3,4} = \frac {1 \pm \sqrt {13}}{2}$.