Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2329
2019-03-23 
Определить $p$ и $q$ так, чтобы многочлен $6x^4 - 7x^3 + px^2 + 3x + 2$ делился без остатка на $x^2 - x + q$.
Решение:
Чтобы данный многочлен делился на $x^2 - x + q$ без остатка, должно выполняться тождество
$6x^4 - 7x^3 + px^2 + 4x + 2 = (x^2 - x + q)(6x^2 + ax + b)$,
B правой части стоит многочлен
$6x^4 + (a-6)x^3 + (b - a + 6q)x^2 + (-b + qa)x + qb$.
Так как многочлены равны тождественно, получаем систему
$\begin{cases} a - 6 = - 7 \\ b - a + 6q = p \\ -b + qa = 3 \\ qb = 2 \end{cases}$.
Из первого уравнения $а = - 1$. Из третьего и четвертого уравнений исключаем $b$. Приходим к уравнению
$q^2 + 3q + 2 = 0$,
откуда
$q_1 = - 1, q_2 = - 2$.
Сложив второе и третье уравнения, также исключим $b$:
$5q - 2 = р$.
Следовательно,
$p_1 = -7, p_2 = -12$.
Итак, возможны два решения.
Ответ. $\begin{cases} p_1 = - 7 \\ q_1 = -1 \end{cases}$; $\begin{cases} p_2 = - 12 \\ q_2 = - 2 \end{cases}$.
Определить $p$ и $q$ так, чтобы многочлен $6x^4 - 7x^3 + px^2 + 3x + 2$ делился без остатка на $x^2 - x + q$.
Решение:
Чтобы данный многочлен делился на $x^2 - x + q$ без остатка, должно выполняться тождество
$6x^4 - 7x^3 + px^2 + 4x + 2 = (x^2 - x + q)(6x^2 + ax + b)$,
B правой части стоит многочлен
$6x^4 + (a-6)x^3 + (b - a + 6q)x^2 + (-b + qa)x + qb$.
Так как многочлены равны тождественно, получаем систему
$\begin{cases} a - 6 = - 7 \\ b - a + 6q = p \\ -b + qa = 3 \\ qb = 2 \end{cases}$.
Из первого уравнения $а = - 1$. Из третьего и четвертого уравнений исключаем $b$. Приходим к уравнению
$q^2 + 3q + 2 = 0$,
откуда
$q_1 = - 1, q_2 = - 2$.
Сложив второе и третье уравнения, также исключим $b$:
$5q - 2 = р$.
Следовательно,
$p_1 = -7, p_2 = -12$.
Итак, возможны два решения.
Ответ. $\begin{cases} p_1 = - 7 \\ q_1 = -1 \end{cases}$; $\begin{cases} p_2 = - 12 \\ q_2 = - 2 \end{cases}$.
