Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2328
2019-03-23 
Найти все натуральные значения $n$, при которых многочлен $(x+1)^n - x^n - 1$ делится на $x^2 + x + 1$.
Решение:
Трехчлен $x^2 +x + 1$ имеет различные корни $- \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt {3}}{2} i$. Нужно найти такие $n$, когда эти числа являются корнями данного многочлена, т. е.
$\left ( - \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i + 1 \right )^n - \left( - \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^n - 1 = \left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^n - \left ( - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt {3}}{2} i \right )^n - 1 = 0$.
Числа $- \frac{1}{2} \pm \ \frac{ \sqrt {3}}{2} i$ и $\frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i$ - корни двучленных уравнений $x^3 - 1 = 0$ и $x^3 + 1 = 0$, т. е. $\left ( - \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^3 = 1$, $\left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^3 = -1$.
Поэтому рассмотрим случаи $n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2$.
Если $n = 3k$, то
$\left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^{3k} - \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^{3k} - 1 = (-1)^k - 1^k - 1 \neq 0$.
Если $n = 3k + 1$, получим
$(-1)^k \left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - 1$.
Когда $k = 2m$, то
$\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt {3}}{2} i + \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i - 1 = 0$,
а когда $k = 2m + 1$, то
$- \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i + \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i - i \neq 0$.
Если $n = 3k + 2$, приходим к выражению
$(-1)^k \left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^2 - \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^2 - 1 = (-1)^k \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - \left ( - \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - 1$.
Убедитесь сами, что для четных $к = 2m$ это выражение не обращается в нуль, а для $k = 2m + 1$ оно равно нулю. Итак, $n = 3k + 1$, где $к = 2m$, и $n = 3k + 2$, где $k = 2m + 1$.
Ответ. $n = 6m + 1$, $n = 6m + 5$, $m = 0, 1, 2, \cdots$.
Найти все натуральные значения $n$, при которых многочлен $(x+1)^n - x^n - 1$ делится на $x^2 + x + 1$.
Решение:
Трехчлен $x^2 +x + 1$ имеет различные корни $- \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt {3}}{2} i$. Нужно найти такие $n$, когда эти числа являются корнями данного многочлена, т. е.
$\left ( - \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i + 1 \right )^n - \left( - \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^n - 1 = \left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^n - \left ( - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt {3}}{2} i \right )^n - 1 = 0$.
Числа $- \frac{1}{2} \pm \ \frac{ \sqrt {3}}{2} i$ и $\frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i$ - корни двучленных уравнений $x^3 - 1 = 0$ и $x^3 + 1 = 0$, т. е. $\left ( - \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^3 = 1$, $\left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^3 = -1$.
Поэтому рассмотрим случаи $n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2$.
Если $n = 3k$, то
$\left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^{3k} - \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^{3k} - 1 = (-1)^k - 1^k - 1 \neq 0$.
Если $n = 3k + 1$, получим
$(-1)^k \left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - 1$.
Когда $k = 2m$, то
$\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt {3}}{2} i + \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i - 1 = 0$,
а когда $k = 2m + 1$, то
$- \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i + \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i - i \neq 0$.
Если $n = 3k + 2$, приходим к выражению
$(-1)^k \left ( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^2 - \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )^2 - 1 = (-1)^k \left (- \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - \left ( - \frac{1}{2} \mp \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) - 1$.
Убедитесь сами, что для четных $к = 2m$ это выражение не обращается в нуль, а для $k = 2m + 1$ оно равно нулю. Итак, $n = 3k + 1$, где $к = 2m$, и $n = 3k + 2$, где $k = 2m + 1$.
Ответ. $n = 6m + 1$, $n = 6m + 5$, $m = 0, 1, 2, \cdots$.
