Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2327
2019-03-22 
Доказать, что многочлен $x^{2n+1} - (2n + 1) x^{n+1} + (2n + 1) x^n - 1$, где $n$ натуральное, делится на $(x - 1)^3$.
Решение:
После замены $x - 1 = у$ получим многочлен
$(y+1)^{2n+1} - (2n+1)(y+1)^{n+1} + ((2n + 1)(y+1)^n - 1$,
который должен делиться на $y^3$. Вычислим его коэффициенты при $у^0, у^1$ и $у^2$.
Свободный член этого многочлена равен
$1 - (2n + 1) + (2n + 1) - 1 = 0$;
коэффициент при $y$
$2n + 1 - (2n + 1) (n + 1) + (2n + 1) n = 0$;
коэффициент при $у^2$
$\frac {(2n+1)2n}{2} - (2n + 1) \frac {(n+1)n}{2} + (2n+1) \frac {n(n-1)}{2} = \frac {2n+1}{2} (2n - n^2 + n^2 - n) = 0$.
Tем самым утверждение доказано.
Доказать, что многочлен $x^{2n+1} - (2n + 1) x^{n+1} + (2n + 1) x^n - 1$, где $n$ натуральное, делится на $(x - 1)^3$.
Решение:
После замены $x - 1 = у$ получим многочлен
$(y+1)^{2n+1} - (2n+1)(y+1)^{n+1} + ((2n + 1)(y+1)^n - 1$,
который должен делиться на $y^3$. Вычислим его коэффициенты при $у^0, у^1$ и $у^2$.
Свободный член этого многочлена равен
$1 - (2n + 1) + (2n + 1) - 1 = 0$;
коэффициент при $y$
$2n + 1 - (2n + 1) (n + 1) + (2n + 1) n = 0$;
коэффициент при $у^2$
$\frac {(2n+1)2n}{2} - (2n + 1) \frac {(n+1)n}{2} + (2n+1) \frac {n(n-1)}{2} = \frac {2n+1}{2} (2n - n^2 + n^2 - n) = 0$.
Tем самым утверждение доказано.
