Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2326
2019-03-22 
Найти все действительные значения $p$ и $q$, при которых $x^4 + 1$ делится на $x^2 + px +q$.
Решение:
Многочлен $x^4 + 1$ делится на $x^2 + px + q$ тогда и только тогда, если
$x^4 + 1 = (x^2 + ах + b) (x^2 + px + q)$.
Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получим систему уравнений
$\begin{cases} p + a = c \\ q + ap + b = 0 \\ aq + bp = 0 \\ bq = 1 \end{cases}$.
Из первого и последнего уравнений находим $а = -p, b = \frac{1}{q}$.
Подставляя в оставшиеся два уравнения
$\begin{cases} q - p^2 + 1/q = 0 \\ -pq + pq = 0 \end{cases}$.
Второе уравнение можно переписать так: $p \left (q - \frac{1}{q} \right ) = 0$.
Если $p = 0$, то первое уравнение не имеет действительных решений. Остается $q = \frac{1}{q}$ т. е. $q = \pm 1$. Подставляя найденные значения $q$ в первое уравнение, увидим, что, когда $q = 1, p^2 = 2$ и $p = \pm \sqrt {2}$, а когда $q = -1$, $p^2 = - 2$ и действительных решений нет. Итак, получаем две возможности: либо $p = \sqrt {2}$ и $q = 1$, либо $p = - \sqrt {2}$ и $q = 1$.
Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно было бы разделить $x^4 + 1$ поочередно на каждый из двух трехчленов: $x^2 + \sqrt {2}x + 1$ и $x^2 - \sqrt {2}x + 1$. Однако проще убедиться, что
$x^4 +1 = (x^2 + \sqrt {2} x + 1)(x^2 - \sqrt {2}x + 1)$.
Ответ. $p_1 = - \sqrt {2}, q_1 = 1; p_2 = \sqrt {2}, q_2 = 1$.
Найти все действительные значения $p$ и $q$, при которых $x^4 + 1$ делится на $x^2 + px +q$.
Решение:
Многочлен $x^4 + 1$ делится на $x^2 + px + q$ тогда и только тогда, если
$x^4 + 1 = (x^2 + ах + b) (x^2 + px + q)$.
Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получим систему уравнений
$\begin{cases} p + a = c \\ q + ap + b = 0 \\ aq + bp = 0 \\ bq = 1 \end{cases}$.
Из первого и последнего уравнений находим $а = -p, b = \frac{1}{q}$.
Подставляя в оставшиеся два уравнения
$\begin{cases} q - p^2 + 1/q = 0 \\ -pq + pq = 0 \end{cases}$.
Второе уравнение можно переписать так: $p \left (q - \frac{1}{q} \right ) = 0$.
Если $p = 0$, то первое уравнение не имеет действительных решений. Остается $q = \frac{1}{q}$ т. е. $q = \pm 1$. Подставляя найденные значения $q$ в первое уравнение, увидим, что, когда $q = 1, p^2 = 2$ и $p = \pm \sqrt {2}$, а когда $q = -1$, $p^2 = - 2$ и действительных решений нет. Итак, получаем две возможности: либо $p = \sqrt {2}$ и $q = 1$, либо $p = - \sqrt {2}$ и $q = 1$.
Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно было бы разделить $x^4 + 1$ поочередно на каждый из двух трехчленов: $x^2 + \sqrt {2}x + 1$ и $x^2 - \sqrt {2}x + 1$. Однако проще убедиться, что
$x^4 +1 = (x^2 + \sqrt {2} x + 1)(x^2 - \sqrt {2}x + 1)$.
Ответ. $p_1 = - \sqrt {2}, q_1 = 1; p_2 = \sqrt {2}, q_2 = 1$.
