ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-22   
При каких $a$ и $\alpha$ трехчлен $x^3 + ax + 1$ делится на двучлен $x - \alpha$ без остатка и частное от деления при всех $x$ больше нуля.


Решение:


Разделив $x^3 + ax + 1$ на $x - \alpha$, получим в частном $x^2 + \alpha x + a + \alpha^2$, а в остатке $\alpha^3 + a\alpha + 1$. Условия задачи будут выполняться тогда и только тогда, если

$\alpha^3 + a\alpha + l = 0$,
$x^2 + \alpha x + a + \alpha^2 > 0$ при всех $x$.

Чтобы выполнялось второе условие, дискриминант $-3\alpha^2 - 4a$ должен быть отрицательным, т. е. $3a^2 + 4a > 0$. Из первого уравнения $a = - \frac {1 + \alpha^3}{\alpha}$. Поэтому должно быть

$3 \alpha^2 - 4 \frac {1 + \alpha^3}{\alpha} > 0$.

Если $\alpha > 0$, то последнее неравенство эквивалентно такому:

$3 \alpha^3 - 4 (\alpha^3 + 1) > 0$,

или $-\alpha^3 > 4$, у которого нет решений.

Число $\alpha$ не может быть равно нулю, так как уравнение $\alpha^3 + a\alpha + 1 = 0$ не удовлетворяется при $\alpha = 0$.

Если $\alpha < 0$, то получим

$3 \alpha^3 - 4 (\alpha^3 + 1) < 0$,

или $-\alpha^3 < 4, \alpha > - \sqrt[3]{4}$.
Ответ. $- \sqrt[3]{4} < \alpha < 0$, $a = - \frac {1 + \alpha^3}{\alpha}$.