Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2323
2019-03-22 
Известно, что уравнение $x^3 + px + q = 0$ имеет корни $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Выразить сумму $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$ через $p$ и $q$.
Решение:
По теореме Bиета
$\begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 0 \\ \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3 = p \\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3 = -q \end{cases}$.
Возведем первое уравнение в квадрат:
$\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 + 2 (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3) = 0$,
откуда найдем $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$. Как видим, последнее уравнение не понадобилось.
Ответ. $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = -2p$.
Известно, что уравнение $x^3 + px + q = 0$ имеет корни $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Выразить сумму $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$ через $p$ и $q$.
Решение:
По теореме Bиета
$\begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 0 \\ \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3 = p \\ \alpha_1\alpha_2\alpha_3 = -q \end{cases}$.
Возведем первое уравнение в квадрат:
$\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 + 2 (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3) = 0$,
откуда найдем $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2$. Как видим, последнее уравнение не понадобилось.
Ответ. $\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 = -2p$.
