Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2320
2019-03-22 
B уравнении $x^4 + ax^3 + bx^2 + 6x + 2 = 0$ один из корней равен $\sqrt {3} + 1$. Найти остальные корни уравнения, если $а$ и $b$ - рациональные числа.
Решение:
Подставим в данное уравнение $x = \sqrt {3} +1$. После простых вычислений и преобразований получим
$36+ 10a + 4b + (22 + 6a + 2b) \sqrt {3} = 0$.
Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:
$\begin{cases} 36 + 10a + 4b = 0 \\ 22 + 6a + 2b = 0 \end{cases}$.
Решая эту систему, найдем $а = - 4, b = 1$. Поскольку уравнение
$x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x +2 = 0$
одним из своих корней имеет число $\sqrt {3} +1$, а все коэффициенты уравнения - целые, то наряду с этим корнем должен существовать и корень вида $k (\sqrt {3}-1)$, где $k$ - целое. Подставим это значение $х$ в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим систему двух уравнений относительно $k$
$\begin{cases} 14k^4 + 20k^3 + 2k^2 - 3k + 1 = 0 \\ 16k^4 + 24k^3 + 2k^2 - 6k = 0 \end{cases}$.
У первого уравнения в качестве целых корней могут выступать только $\pm$. Проверкой убеждаемся, что $k = -1$ удовлетворяет обоим уравнениям. Следовательно, $x = 1 - \sqrt {3}$ - второй корень данного в условии уравнения.
Разделив многочлен $x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + 2$ на
$(x- \sqrt {3} - 1)(x + \sqrt {3} - 1) = x^2 - 2x - 2$,
получим квадратный трехчлен $x^2 - 2x - 1$, корнями которого являются числа $l \pm \sqrt {2}$
Ответ. $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {3}$; $x_{3,4} = 1 \pm \sqrt {2}$.
B уравнении $x^4 + ax^3 + bx^2 + 6x + 2 = 0$ один из корней равен $\sqrt {3} + 1$. Найти остальные корни уравнения, если $а$ и $b$ - рациональные числа.
Решение:
Подставим в данное уравнение $x = \sqrt {3} +1$. После простых вычислений и преобразований получим
$36+ 10a + 4b + (22 + 6a + 2b) \sqrt {3} = 0$.
Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:
$\begin{cases} 36 + 10a + 4b = 0 \\ 22 + 6a + 2b = 0 \end{cases}$.
Решая эту систему, найдем $а = - 4, b = 1$. Поскольку уравнение
$x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x +2 = 0$
одним из своих корней имеет число $\sqrt {3} +1$, а все коэффициенты уравнения - целые, то наряду с этим корнем должен существовать и корень вида $k (\sqrt {3}-1)$, где $k$ - целое. Подставим это значение $х$ в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим систему двух уравнений относительно $k$
$\begin{cases} 14k^4 + 20k^3 + 2k^2 - 3k + 1 = 0 \\ 16k^4 + 24k^3 + 2k^2 - 6k = 0 \end{cases}$.
У первого уравнения в качестве целых корней могут выступать только $\pm$. Проверкой убеждаемся, что $k = -1$ удовлетворяет обоим уравнениям. Следовательно, $x = 1 - \sqrt {3}$ - второй корень данного в условии уравнения.
Разделив многочлен $x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + 2$ на
$(x- \sqrt {3} - 1)(x + \sqrt {3} - 1) = x^2 - 2x - 2$,
получим квадратный трехчлен $x^2 - 2x - 1$, корнями которого являются числа $l \pm \sqrt {2}$
Ответ. $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {3}$; $x_{3,4} = 1 \pm \sqrt {2}$.
