Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2313
2019-03-22 
Доказать, что $|\frac {x+y}{2} - \sqrt {xy}| + |{x+y}{2} + \sqrt {xy}| = |x| + |y|$ для любых действительных $x$ и $у$, имеющих одинаковые знаки.
Решение:
Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат:
$\left ( \left | \frac {x + y}{2} - \sqrt {xy} \right | + \left |\frac {x + y}{2} + \sqrt {xy} \right | \right )^2 = \left ( \frac {x + y}{2} - \sqrt {xy} \right )^2 + \left ( \frac {x+y}{2} + \sqrt {xy} \right )^2 + 2 \left | \left (\frac {x + y}{2} \right )^2 - xy \right |$.
Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что $\left ( \frac {x + y}{2} \right )^2 \geq xy$. Получим
$x^2 + 2xy + y^2$.
Если возвести в квадрат правую часть, то получим
$x^2 + 2|xy| + y^2$.
Так как по условию $xy = |xy|$, то равенство доказано.
Доказать, что $|\frac {x+y}{2} - \sqrt {xy}| + |{x+y}{2} + \sqrt {xy}| = |x| + |y|$ для любых действительных $x$ и $у$, имеющих одинаковые знаки.
Решение:
Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат:
$\left ( \left | \frac {x + y}{2} - \sqrt {xy} \right | + \left |\frac {x + y}{2} + \sqrt {xy} \right | \right )^2 = \left ( \frac {x + y}{2} - \sqrt {xy} \right )^2 + \left ( \frac {x+y}{2} + \sqrt {xy} \right )^2 + 2 \left | \left (\frac {x + y}{2} \right )^2 - xy \right |$.
Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что $\left ( \frac {x + y}{2} \right )^2 \geq xy$. Получим
$x^2 + 2xy + y^2$.
Если возвести в квадрат правую часть, то получим
$x^2 + 2|xy| + y^2$.
Так как по условию $xy = |xy|$, то равенство доказано.
