Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2312
2019-03-22 
Доказать, что при всех действительных значениях $x$ и $y$ имеет место равенство $|x + y| + |x - y| = |x + \sqrt {x^2 - y^2}| + |x - \sqrt {x^2 - y^2}|$.
Решение:
Если данное равенство доказано при $x \geq 0$ и любом $у$, то оно верно для всех $x$ и $у$. Действительно, пусть $x < 0$. Тогда левую часть можно записать в виде
$|- (x+y)| + |-(x-y)| = |(-x) - y| + |(-x) + y|$,
а правую - в виде
$|- (x + \sqrt {x^2 - y^2})| + | - (x - \sqrt {x^2 - y^2)}| = | (- x) - \sqrt {(-x)^2 - y^2}| + |(-x) + \sqrt {(-x)^2 - y^2}|$.
Поскольку $- x > 0$, то равенство стоящих справа выражений доказано.
Итак, пусть $x \geq 0$. Рассмотрим два случая: $|у| \leq x$ и $|y| > x$.
1) $x \geq 0, |y| \leq x$, т.е. $-x \leq y \leq x$. Тогда $x^2 - у^2 \geq 0$ и $\sqrt {x^2 - y^2}$ - неотрицательное действительное число. Кроме того, $x \geq \sqrt {x^2 - y^2}$ и равенство примет вид
$x + у + x - у = x + \sqrt {x^2 - y^2} + x - \sqrt {x^2 - y^2}$, т. е. $2x = 2x$.
2) $x \geq 0, |у| > x$, т. е. $y < - x$ или $у > x$. Левая часть равенства в этом случае равна $2 |у|$ (случаи $y < - x$ и $y > x$ разберите самостоятельно. Так как $|y|> x$, то $\sqrt {x^2-у^2} = i \sqrt {y^2 - x^2}$, следовательно,
$|x + \sqrt {x^2 - y^2}| + |x - \sqrt {x^2 - y^2}| = |x + i \sqrt {y^2 - x^2}| + |x - i \sqrt {y^2 - x^2}| = \sqrt {x^2 + y^2 - x^2} + \sqrt {x^2 + y^2 - x^2} = 2 |y|$.
Tем самым доказательство тождества закончено.
Доказать, что при всех действительных значениях $x$ и $y$ имеет место равенство $|x + y| + |x - y| = |x + \sqrt {x^2 - y^2}| + |x - \sqrt {x^2 - y^2}|$.
Решение:
Если данное равенство доказано при $x \geq 0$ и любом $у$, то оно верно для всех $x$ и $у$. Действительно, пусть $x < 0$. Тогда левую часть можно записать в виде
$|- (x+y)| + |-(x-y)| = |(-x) - y| + |(-x) + y|$,
а правую - в виде
$|- (x + \sqrt {x^2 - y^2})| + | - (x - \sqrt {x^2 - y^2)}| = | (- x) - \sqrt {(-x)^2 - y^2}| + |(-x) + \sqrt {(-x)^2 - y^2}|$.
Поскольку $- x > 0$, то равенство стоящих справа выражений доказано.
Итак, пусть $x \geq 0$. Рассмотрим два случая: $|у| \leq x$ и $|y| > x$.
1) $x \geq 0, |y| \leq x$, т.е. $-x \leq y \leq x$. Тогда $x^2 - у^2 \geq 0$ и $\sqrt {x^2 - y^2}$ - неотрицательное действительное число. Кроме того, $x \geq \sqrt {x^2 - y^2}$ и равенство примет вид
$x + у + x - у = x + \sqrt {x^2 - y^2} + x - \sqrt {x^2 - y^2}$, т. е. $2x = 2x$.
2) $x \geq 0, |у| > x$, т. е. $y < - x$ или $у > x$. Левая часть равенства в этом случае равна $2 |у|$ (случаи $y < - x$ и $y > x$ разберите самостоятельно. Так как $|y|> x$, то $\sqrt {x^2-у^2} = i \sqrt {y^2 - x^2}$, следовательно,
$|x + \sqrt {x^2 - y^2}| + |x - \sqrt {x^2 - y^2}| = |x + i \sqrt {y^2 - x^2}| + |x - i \sqrt {y^2 - x^2}| = \sqrt {x^2 + y^2 - x^2} + \sqrt {x^2 + y^2 - x^2} = 2 |y|$.
Tем самым доказательство тождества закончено.
