ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-22   
Доказать, что если $а + b + с = 0$, то $а^5 (b^2 + с^2) + c^5 (b^2 + a^2) = \frac {(a^3 + b^3 + c^3)(a^4 + b^4 + c^4)}{2}$.


Решение:


По условию $а + b = - с$. Возведем в куб

$a^3 = b^3 + 3ab (a+b) = - c^3$

и заменим $a+b$ на $-c$. Получим

$а^3 + b^3 + с^3 = 3abc$.

Возведем $a + b + с = 0$ в квадрат

$а^2 + b^2 + с^2 = - 2 (ab + ас + bс)$

и еще раз возведем в квадрат

$a^4 + b^4 + c^4 + 2 (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 4 [a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2 (a^2bc + b^2ac + c^2ab)]$.

Поскольку

$a^2bc + b^2ac + c^2ab = abc (a + b +c) = 0$,

то

$a^4 + b^4 + c^4 = 2 (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$.

Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:

$a^5 (b^2 + c^2) + b^5 (a^2 + c^2) + c^5 (a^2 + b^2) = a^2b^2 (a^3 + b^3) + a^2c^2 (a^3 + c^3) + b^2c^2 (b^3 + c^3)$.

Заменим $a^3 + b^3$ на $3abc - c^3$ и поступим аналогично с остальными скобками:

$a^2b^2 (3abc - c^3) + а^2c^2 (3abc - b^3) + b^2c^2 (3abc - а^3) = - а^2b^2c^2 (с + b + а) + 3abc(а^2b^2 + а^2c^2 +b^2c^2) = \frac {(a^3 + b^3 + c^3)(a^4 + b^4 + c^4}{2}$,

что и требовалось доказать.