Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2310
2019-03-22 
Доказать, что $\sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} = 3$.
Решение:
Обозначим
$\sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} = z$.
Возведем в куб (при этом равносильность не нарушится). Получим
$12 + 3 \sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} \times \left ( \sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} \right ) = z^3$
Произведение корней преобразуем так:
$\sqrt[3]{36 - \sqrt { \frac{847}{27}}} = \sqrt[3]{ \frac{125}{27}} = \frac{5}{3}$,
выражение, в скобках равно $z$. Придем к уравнению
$z^3 - 5z - 12 = 0$.
Так как $z = 3$ - корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду
$z^3 - 9z + 4z - 12 = 0$, или $(z - 3)(z^2 + 3z + 4) = 0$.
Уравнение $z^2 + 3z + 4 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, $z = 3$, что и требовалось доказать.
Доказать, что $\sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} = 3$.
Решение:
Обозначим
$\sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} = z$.
Возведем в куб (при этом равносильность не нарушится). Получим
$12 + 3 \sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} \times \left ( \sqrt[3]{6 + \sqrt { \frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt { \frac{847}{27}}} \right ) = z^3$
Произведение корней преобразуем так:
$\sqrt[3]{36 - \sqrt { \frac{847}{27}}} = \sqrt[3]{ \frac{125}{27}} = \frac{5}{3}$,
выражение, в скобках равно $z$. Придем к уравнению
$z^3 - 5z - 12 = 0$.
Так как $z = 3$ - корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду
$z^3 - 9z + 4z - 12 = 0$, или $(z - 3)(z^2 + 3z + 4) = 0$.
Уравнение $z^2 + 3z + 4 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, $z = 3$, что и требовалось доказать.
