Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2309
2019-03-22 
Разложить в области комплексных чисел на линейные множители выражение $(y - z)^5 + (z - x)^5 + (x - y)^5$.
Решение:
Первый способ. Данное выражение обращается в нуль при $x = y, x = z$ и $y=z$. Следовательно, оно делится на $(x-y)(x-z)(y-z)$, т.е.
$\frac {(y-z)^5 + (z-x)^5 + (x-y)^5}{(x-y)(x-z)(y-z)} = M$
где $M$ - многочлен второй степени, однородный относительно $x, у$ и $z$. Поскольку левая часть не меняется при замене $x$ на $у$, а $у$ на $x$, так же как и при любой другой аналогичной замене переменных, то $M$ - симметрический многочлен относительно $x, у$ и $z$. Поэтому
$M = A (x^2 + у^2 + z^2) + B (xy + yz + xz)$,
где $A$ и $B$ - неопределенные коэффициенты. Чтобы найти $A$ и $B$ в равенстве
$\frac {(y-z)^5 + (z-x)^5 + (x-y)^5}{(x-y)(x-z)(y-z)} = A (x^2 + y^2 +z^2) + B (xy +yz + xz)$,
положим сначала $x = 0, у = 1, z = - 1$, а затем $x = 0, у = 2, z = 1$ (в выборе значений имеется большой произвол, лишь бы обе части имели смысл и не обращались в очевидное тождество). Получим систему
$\begin{cases} 2A - B = - 15 \\ 5A + 2B = -15 \end{cases}$,
откуда $A = -5, B = 5$.
Итак,
$M = - 5 (x^2 + у^2 + z^2 - xy - xz - yz)$.
Чтобы стоящее в скобках выражение разложить на линейные множители, снова воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = (x + Ky + Nz)(x + Py + Qz) = x^2 + KPy^2 + NQz^2 + (P + K) xy + (Q + N) xz + (KQ + NP) yz$.
Получаем для определения $K, P, N$ и $Q$ две простые системы:
$\begin{cases} KP = 1 \\ K + P = - 1 \end{cases}$; $\begin{cases} NQ = 1 \\ N + Q = - 1 \end{cases}$
и равенство $KQ + NP = - 1$, связывающее решения этих систем.
Из первой системы находим:
$K = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt {3}}{2} i$, $P = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i$.
или наоборот. При выборе решения второй системы > нас тоже появляются две возможности, однако условие $KQ + NP = - 1$ заставляет выбрать из них одну:
$N = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i, Q = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i$.
Второй способ. Обозначим $y - z = a, z - x = b, х - у = с$. Заметим, что $a+ b + c = 0$ и поэтому $а + b = - с$ и $(а + b)^5 + с^5 = 0$. После возведения двучлена $а + b$ в пятую степень получим
$a^5 + 5a^4b + 10 a^3b^2 + 10 a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5 + c^5 = 0$,
или
$a^5 + b^5 + 1c^5 = -5ab (a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^2)$.
Выражение в скобках преобразуем, имея в виду соотношение $а + b = - c$:
$а^3 + 2a^{2}b + 2ab^2 + b^3 = (a^3 + b^3) + 2a^2b + 2ab^2 = (а + b)(а^2 - аb + b^2) + 2ab (а + b) = (а + b)(а^2 + ab + b^2) = -с(a^2 + ab + b^2)$.
Трехчлен $a^2 + ab + b^2$ раскладывается на множители стандартным методом (см. задачу 2308). Окончательно получаем $a^5 + b^5 + c^5 = 5abc \left (a + \frac {1 - i \sqrt {3}}{2} b \right ) \left (a + \frac {1 + i \sqrt {3}}{2} b \right )$. Теперь осталось подставить вместо $a, b, c$ их значения.
Ответ. $5(x-y)(z-x)(y-z) \left [x - \left ( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt {3}}{2} i \right )y + \left ( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )z \right ] \cdot \left [x + \left ( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) y - \left ( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) z \right ]$.
Разложить в области комплексных чисел на линейные множители выражение $(y - z)^5 + (z - x)^5 + (x - y)^5$.
Решение:
Первый способ. Данное выражение обращается в нуль при $x = y, x = z$ и $y=z$. Следовательно, оно делится на $(x-y)(x-z)(y-z)$, т.е.
$\frac {(y-z)^5 + (z-x)^5 + (x-y)^5}{(x-y)(x-z)(y-z)} = M$
где $M$ - многочлен второй степени, однородный относительно $x, у$ и $z$. Поскольку левая часть не меняется при замене $x$ на $у$, а $у$ на $x$, так же как и при любой другой аналогичной замене переменных, то $M$ - симметрический многочлен относительно $x, у$ и $z$. Поэтому
$M = A (x^2 + у^2 + z^2) + B (xy + yz + xz)$,
где $A$ и $B$ - неопределенные коэффициенты. Чтобы найти $A$ и $B$ в равенстве
$\frac {(y-z)^5 + (z-x)^5 + (x-y)^5}{(x-y)(x-z)(y-z)} = A (x^2 + y^2 +z^2) + B (xy +yz + xz)$,
положим сначала $x = 0, у = 1, z = - 1$, а затем $x = 0, у = 2, z = 1$ (в выборе значений имеется большой произвол, лишь бы обе части имели смысл и не обращались в очевидное тождество). Получим систему
$\begin{cases} 2A - B = - 15 \\ 5A + 2B = -15 \end{cases}$,
откуда $A = -5, B = 5$.
Итак,
$M = - 5 (x^2 + у^2 + z^2 - xy - xz - yz)$.
Чтобы стоящее в скобках выражение разложить на линейные множители, снова воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = (x + Ky + Nz)(x + Py + Qz) = x^2 + KPy^2 + NQz^2 + (P + K) xy + (Q + N) xz + (KQ + NP) yz$.
Получаем для определения $K, P, N$ и $Q$ две простые системы:
$\begin{cases} KP = 1 \\ K + P = - 1 \end{cases}$; $\begin{cases} NQ = 1 \\ N + Q = - 1 \end{cases}$
и равенство $KQ + NP = - 1$, связывающее решения этих систем.
Из первой системы находим:
$K = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt {3}}{2} i$, $P = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i$.
или наоборот. При выборе решения второй системы > нас тоже появляются две возможности, однако условие $KQ + NP = - 1$ заставляет выбрать из них одну:
$N = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i, Q = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i$.
Второй способ. Обозначим $y - z = a, z - x = b, х - у = с$. Заметим, что $a+ b + c = 0$ и поэтому $а + b = - с$ и $(а + b)^5 + с^5 = 0$. После возведения двучлена $а + b$ в пятую степень получим
$a^5 + 5a^4b + 10 a^3b^2 + 10 a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5 + c^5 = 0$,
или
$a^5 + b^5 + 1c^5 = -5ab (a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^2)$.
Выражение в скобках преобразуем, имея в виду соотношение $а + b = - c$:
$а^3 + 2a^{2}b + 2ab^2 + b^3 = (a^3 + b^3) + 2a^2b + 2ab^2 = (а + b)(а^2 - аb + b^2) + 2ab (а + b) = (а + b)(а^2 + ab + b^2) = -с(a^2 + ab + b^2)$.
Трехчлен $a^2 + ab + b^2$ раскладывается на множители стандартным методом (см. задачу 2308). Окончательно получаем $a^5 + b^5 + c^5 = 5abc \left (a + \frac {1 - i \sqrt {3}}{2} b \right ) \left (a + \frac {1 + i \sqrt {3}}{2} b \right )$. Теперь осталось подставить вместо $a, b, c$ их значения.
Ответ. $5(x-y)(z-x)(y-z) \left [x - \left ( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt {3}}{2} i \right )y + \left ( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right )z \right ] \cdot \left [x + \left ( - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) y - \left ( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt {3}}{2} i \right ) z \right ]$.
