Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2308
2019-03-22 
Разложить в области комплексных чисел на линейные множители выражение $(x+у)^4 + x^4 + у^4$.
Решение:
Раскроем скобки и вынесем коэффициент 2:
$2 (x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4)$.
Выражение в скобках разобьем на три группы:
$(x^4 + x^3y + x^2y^2) + (x^3y + x^2y^2 + xy^3) + (x^2y^2 + xy^3 + y^4) = (x^2 + xy + y^2)^2$.
Остается разложить на множители трехчлен $x^2 + xy + y^2$:
$x^2 + xy + y^2 = x^2 + xy + \frac{y^2}{4} + \frac{3y^2}{4} = \left (x + \frac{y}{2} \right )^2 - \left (\frac {\sqrt {3}}{2}iy \right )^2 = \left (x + \frac {1 - i \sqrt {3}}{2} y \right ) \left (x + \frac {1 + i \sqrt {3}}{2} y \right )$.
Ответ. $2 \left (x + \frac {1 - i \sqrt {3}}{2} y \right )^{2} \left (x + \frac {1 + i \sqrt {3}}{2} y \right )^{2}$.
Разложить в области комплексных чисел на линейные множители выражение $(x+у)^4 + x^4 + у^4$.
Решение:
Раскроем скобки и вынесем коэффициент 2:
$2 (x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4)$.
Выражение в скобках разобьем на три группы:
$(x^4 + x^3y + x^2y^2) + (x^3y + x^2y^2 + xy^3) + (x^2y^2 + xy^3 + y^4) = (x^2 + xy + y^2)^2$.
Остается разложить на множители трехчлен $x^2 + xy + y^2$:
$x^2 + xy + y^2 = x^2 + xy + \frac{y^2}{4} + \frac{3y^2}{4} = \left (x + \frac{y}{2} \right )^2 - \left (\frac {\sqrt {3}}{2}iy \right )^2 = \left (x + \frac {1 - i \sqrt {3}}{2} y \right ) \left (x + \frac {1 + i \sqrt {3}}{2} y \right )$.
Ответ. $2 \left (x + \frac {1 - i \sqrt {3}}{2} y \right )^{2} \left (x + \frac {1 + i \sqrt {3}}{2} y \right )^{2}$.
