Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2302
2019-03-21 
Упростить выражение
$\left ( \frac{63}{256} x^2 - \frac{21}{128} x^4 - \frac{21}{160} x^6 + \frac{9}{80} x^8 + \frac{1}{10} x^{10} \right ) (1 + x^2)^{-1/2} + \left ( \frac{63}{256} - \frac{63}{128} x^2 + \frac{105}{160} x^4 - \frac{63}{80} x^6 + \frac{9}{10} x^8 \right ) (1 + x^2)^{1/2} - \frac{63}{256} [1 + x (1 + x^2)^{- 1/2}][x + (1 + x^2)^{1/2}]^{-1}$.
После упрощения определить его знак в зависимости от $x$.
Решение:
Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим
$\frac {A+B (1 + x^2)}{\sqrt {1 + x^2}}$,
где $A$ и $B$ - соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется
$\frac {x^{10} + \frac{63}{256}}{\sqrt {1 + x^2}}$.
Преобразуем третье слагаемое:
$\frac{63}{256} \left (1 + \frac {x}{\sqrt {1+x^2}} \right ) \frac {1}{x + \sqrt {1 + x^2}} = \frac{63}{256} \cdot \frac {1}{\sqrt {1 + x^2}}$.
Остается вычесть его из предыдущего результата.
Ответ. $\frac {x^{10}}{\sqrt {1+x^2}}$, это выражение положительно при $x \neq 0$.
Упростить выражение
$\left ( \frac{63}{256} x^2 - \frac{21}{128} x^4 - \frac{21}{160} x^6 + \frac{9}{80} x^8 + \frac{1}{10} x^{10} \right ) (1 + x^2)^{-1/2} + \left ( \frac{63}{256} - \frac{63}{128} x^2 + \frac{105}{160} x^4 - \frac{63}{80} x^6 + \frac{9}{10} x^8 \right ) (1 + x^2)^{1/2} - \frac{63}{256} [1 + x (1 + x^2)^{- 1/2}][x + (1 + x^2)^{1/2}]^{-1}$.
После упрощения определить его знак в зависимости от $x$.
Решение:
Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим
$\frac {A+B (1 + x^2)}{\sqrt {1 + x^2}}$,
где $A$ и $B$ - соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется
$\frac {x^{10} + \frac{63}{256}}{\sqrt {1 + x^2}}$.
Преобразуем третье слагаемое:
$\frac{63}{256} \left (1 + \frac {x}{\sqrt {1+x^2}} \right ) \frac {1}{x + \sqrt {1 + x^2}} = \frac{63}{256} \cdot \frac {1}{\sqrt {1 + x^2}}$.
Остается вычесть его из предыдущего результата.
Ответ. $\frac {x^{10}}{\sqrt {1+x^2}}$, это выражение положительно при $x \neq 0$.
