Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2301
2019-03-21 
Упростить выражение $A = \left ( \frac {1-x}{x^2 + x^3 - x^4} - \frac {x^3 + x - 2}{x^5 - x^3 - 2 x^2 - x} \right ) \div \left (\frac {1+x} {x^3 + x^4 + x^5} - \frac {1 - x + x^2}{2^3} \right )$.
Решение:
Перепишем данное выражение так:
$A = \left (\frac {1 - x}{x^2 (1 + x - x^2)} - \frac {x^3 - 1 + x - 1}{x (x^4 - x^2 - 2x - 1)} \right ) \div \left (\frac {1 + x}{x^3 (1 + x + x^2)} - \frac {1 - x + x^2}{x^3} \right )$.
Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на $1 + x - x^2$. Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что
$x^4 - x^2 - 2x - 1 = (1 + x - x^2)(-x^2 - x - 1)$.
Таким образом,
$A = \left ( \frac {1 - x}{x^2 (1 + x - x^2)} - \frac {(1-x)(x^2 + x+2)}{x (1+x-x^2)(x^2 + x + 1)} \right ) \div \frac {1 + x - [(1 + x^2)^2 - x^2]}{x^3 (1+x+x^2)} = \frac {(1-x)[1+x+x^2-x(x^2+x+2)]}{x^2(1 + x - x^2)(1+x+ x^2)} \cdot \frac {x^3 (1+x+x^2)}{(-x^4 - x^2 +x)} = \frac {(-x^3 - x + 1)(1-x)}{(1+x - x^2)(-x^3-x+1)} = \frac {x-1}{x^2-x-1}$.
Упростить выражение $A = \left ( \frac {1-x}{x^2 + x^3 - x^4} - \frac {x^3 + x - 2}{x^5 - x^3 - 2 x^2 - x} \right ) \div \left (\frac {1+x} {x^3 + x^4 + x^5} - \frac {1 - x + x^2}{2^3} \right )$.
Решение:
Перепишем данное выражение так:
$A = \left (\frac {1 - x}{x^2 (1 + x - x^2)} - \frac {x^3 - 1 + x - 1}{x (x^4 - x^2 - 2x - 1)} \right ) \div \left (\frac {1 + x}{x^3 (1 + x + x^2)} - \frac {1 - x + x^2}{x^3} \right )$.
Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на $1 + x - x^2$. Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что
$x^4 - x^2 - 2x - 1 = (1 + x - x^2)(-x^2 - x - 1)$.
Таким образом,
$A = \left ( \frac {1 - x}{x^2 (1 + x - x^2)} - \frac {(1-x)(x^2 + x+2)}{x (1+x-x^2)(x^2 + x + 1)} \right ) \div \frac {1 + x - [(1 + x^2)^2 - x^2]}{x^3 (1+x+x^2)} = \frac {(1-x)[1+x+x^2-x(x^2+x+2)]}{x^2(1 + x - x^2)(1+x+ x^2)} \cdot \frac {x^3 (1+x+x^2)}{(-x^4 - x^2 +x)} = \frac {(-x^3 - x + 1)(1-x)}{(1+x - x^2)(-x^3-x+1)} = \frac {x-1}{x^2-x-1}$.
