Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2297
2019-03-21 
При каких значениях $x$ дробь $\frac {2x +3}{5x+7}$ сократима?
Решение:
Первый способ. Если дробь сократима, то
$5x +7 = qr$, $2x +3 = pr$.
Исключая из этих равенств $x$, получил
$1 = (5p - 2q) r$,
или
$\frac{1}{r} = 5p - 2q$.
Если дробь $\frac {2x +3}{5x +7}$ сократима на целое число $r \neq \pm 1$, то в последнем равенстве справа стоит целое число, а слева - нецелое. Таким образом, это равенство противоречиво, и данная дробь не сократима.
Второй способ. Если данная дробь сократима, то сократима - и дробь
$\frac {5x+7}{2x+3} = 2 + \frac {x+1}{2x+3}$.
Таким образом, должна быть сократимой дробь, стоящая в правой части и, следовательно, дробь
$\frac {2x+3}{x+1} = 2 + \frac {x+1}{2x+3}$.
Дробь $\frac {1}{x+1}$ не сократима ни при каких $x$, так как в числителе стоит единица.
Итак, данная дробь не сократима ни при каких $x$.
При каких значениях $x$ дробь $\frac {2x +3}{5x+7}$ сократима?
Решение:
Первый способ. Если дробь сократима, то
$5x +7 = qr$, $2x +3 = pr$.
Исключая из этих равенств $x$, получил
$1 = (5p - 2q) r$,
или
$\frac{1}{r} = 5p - 2q$.
Если дробь $\frac {2x +3}{5x +7}$ сократима на целое число $r \neq \pm 1$, то в последнем равенстве справа стоит целое число, а слева - нецелое. Таким образом, это равенство противоречиво, и данная дробь не сократима.
Второй способ. Если данная дробь сократима, то сократима - и дробь
$\frac {5x+7}{2x+3} = 2 + \frac {x+1}{2x+3}$.
Таким образом, должна быть сократимой дробь, стоящая в правой части и, следовательно, дробь
$\frac {2x+3}{x+1} = 2 + \frac {x+1}{2x+3}$.
Дробь $\frac {1}{x+1}$ не сократима ни при каких $x$, так как в числителе стоит единица.
Итак, данная дробь не сократима ни при каких $x$.
