Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2296
2019-03-21 
Доказать, что $\frac{n}{12} + \frac{n^2}{8} + \frac{n^3}{24}$ является целым числом при любом четном $n$.
Решение:
Подставим $n = 2k$, получим
$\frac{n}{12} + \frac{n^2}{8} + \frac{n^3}{24} = \frac{k}{6} + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{3} = \frac {2k^3 + 3k^2 +k}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
Остается доказать, что числитель всегда делится на 6.
Так как одно из двух последовательных целых чисел $k$ и $k + 1$ четное, то делимость на 2 очевидна. Если ни $k$, ни $k+1$ не делятся на 3, то $k = 3 m + 1$, a $k = 1 = 3m + 2$. Тогда $2k + 1 = 2 (3m +1) + 1 = 6m + 3$, т. Е. $2k = 1$ делится на 3. Тем самым доказательство закончено.
Доказать, что $\frac{n}{12} + \frac{n^2}{8} + \frac{n^3}{24}$ является целым числом при любом четном $n$.
Решение:
Подставим $n = 2k$, получим
$\frac{n}{12} + \frac{n^2}{8} + \frac{n^3}{24} = \frac{k}{6} + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{3} = \frac {2k^3 + 3k^2 +k}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
Остается доказать, что числитель всегда делится на 6.
Так как одно из двух последовательных целых чисел $k$ и $k + 1$ четное, то делимость на 2 очевидна. Если ни $k$, ни $k+1$ не делятся на 3, то $k = 3 m + 1$, a $k = 1 = 3m + 2$. Тогда $2k + 1 = 2 (3m +1) + 1 = 6m + 3$, т. Е. $2k = 1$ делится на 3. Тем самым доказательство закончено.
