Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2294
2019-03-21 
Делится ли число $\underbrace{\underbrace{10}_{} \underbrace{10}_{} \underbrace{10}_{} \cdots \underbrace{10}_{} }_{80 \:раз} 1$ на 81?
Решение:
Если умножить данное число на 10, то его свойство быть кратным 81 не изменится. Получим число
$\underbrace{\underbrace{10} \underbrace{10} \underbrace{10} \cdots \underbrace{10}}_{80 \:раз}$.
Сумма цифр этого числа делится на 9. Разобьем его на 9 одинаковых секций
$\underbrace{\underbrace{10} \cdots \underbrace{10}}_{9 \:раз} \cdots \underbrace{\underbrace{10} \cdots \underbrace{10}}_{9 \:раз}$
и будем делить на 9. Так как сумма цифр в каждой секции равна 9, то каждая секция делится на 9. Обозначим частное от деления одной секции на 9 через $A$. B результате деления на 9 всего числа получим
$A \cdot 10^{144} + A \cdot 10^{126} + A \cdot 10^{108} + \cdots + A \cdot 10^{18} + A = A \underbrace{(10^{144} + 10^{126} + \cdots + 10^{18} + 1)}_{9 слагаемых}$
Сумма цифр числа, стоящего в скобках, равна 9. Следовательно, полученное частное делится на 9, а данное число - на 81.
Делится ли число $\underbrace{\underbrace{10}_{} \underbrace{10}_{} \underbrace{10}_{} \cdots \underbrace{10}_{} }_{80 \:раз} 1$ на 81?
Решение:
Если умножить данное число на 10, то его свойство быть кратным 81 не изменится. Получим число
$\underbrace{\underbrace{10} \underbrace{10} \underbrace{10} \cdots \underbrace{10}}_{80 \:раз}$.
Сумма цифр этого числа делится на 9. Разобьем его на 9 одинаковых секций
$\underbrace{\underbrace{10} \cdots \underbrace{10}}_{9 \:раз} \cdots \underbrace{\underbrace{10} \cdots \underbrace{10}}_{9 \:раз}$
и будем делить на 9. Так как сумма цифр в каждой секции равна 9, то каждая секция делится на 9. Обозначим частное от деления одной секции на 9 через $A$. B результате деления на 9 всего числа получим
$A \cdot 10^{144} + A \cdot 10^{126} + A \cdot 10^{108} + \cdots + A \cdot 10^{18} + A = A \underbrace{(10^{144} + 10^{126} + \cdots + 10^{18} + 1)}_{9 слагаемых}$
Сумма цифр числа, стоящего в скобках, равна 9. Следовательно, полученное частное делится на 9, а данное число - на 81.
