Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2292
2019-03-21 
Доказать, что число $3^{105} + 4^{105}$ делится на 49 и 181.
Решение:
Разложим данное число на множители двумя способами:
$3^{105} + 4^{105} = (3^5)^21 = (243)^{21} + 1024^{21} = (243 + 1024)(243^{20} - \cdots + 1024^{20}) = 181 \cdot 7 (243^{20} - \cdots + 1024^{20})$;
$3^{105} + 4^{105} = (3^7)^15 + (4^7)^15 = 2187^{15} + 16384^{15} = (2187 + 16384)(2187^{14} - \cdots + 16384^{14}) = 18571 (2187^{14} - \cdots + 16384^{14} = 49 \cdot 379 (2187^{14} - \cdots + 16384^{14})$.
Таким образом, данное число делится на 49 и на 181.
Доказать, что число $3^{105} + 4^{105}$ делится на 49 и 181.
Решение:
Разложим данное число на множители двумя способами:
$3^{105} + 4^{105} = (3^5)^21 = (243)^{21} + 1024^{21} = (243 + 1024)(243^{20} - \cdots + 1024^{20}) = 181 \cdot 7 (243^{20} - \cdots + 1024^{20})$;
$3^{105} + 4^{105} = (3^7)^15 + (4^7)^15 = 2187^{15} + 16384^{15} = (2187 + 16384)(2187^{14} - \cdots + 16384^{14}) = 18571 (2187^{14} - \cdots + 16384^{14} = 49 \cdot 379 (2187^{14} - \cdots + 16384^{14})$.
Таким образом, данное число делится на 49 и на 181.
