Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2291
2019-03-21 
Доказать, что $n^3 + 2n$ при любом натуральном $n$ делится на 3.
Решение:
Первый способ. Предположим, что $n^3 + 2n$ делится на 3 при $n = k$. (Если $n = l$, то это очевидно.) Тогда при $n = k + 1$ получим
$(k+ 1)^3 + 2(k+ 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + (2k + 2) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3$.
Так как $k^3 + 2k$ делится на 3, то и $(k +1)^3 + 2 (k + 1)$ тоже делится на 3. B силу принципа индукции утверждение доказано.
Второй способ. Так как $n^3 + 2n = n(n^2+ 2)$, то при $n = 3k$ делимость на 3 очевидна. Если же $n = 3k \pm 1$, то $n^2 + 2 = (3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 3$ и также делится на 3.
Доказать, что $n^3 + 2n$ при любом натуральном $n$ делится на 3.
Решение:
Первый способ. Предположим, что $n^3 + 2n$ делится на 3 при $n = k$. (Если $n = l$, то это очевидно.) Тогда при $n = k + 1$ получим
$(k+ 1)^3 + 2(k+ 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + (2k + 2) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3$.
Так как $k^3 + 2k$ делится на 3, то и $(k +1)^3 + 2 (k + 1)$ тоже делится на 3. B силу принципа индукции утверждение доказано.
Второй способ. Так как $n^3 + 2n = n(n^2+ 2)$, то при $n = 3k$ делимость на 3 очевидна. Если же $n = 3k \pm 1$, то $n^2 + 2 = (3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 3$ и также делится на 3.
