Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2289
2019-03-21 
Дан куб с ребром $a$. Найти геометрическое место середин отрезков длины $l$, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой -на не параллельной ей диагонали нижнего основания.
Решение:
Для данного куба с ребром $a$ найдем сначала геометрическое место середин отрезков длины $l$, один из концов которых лежит на диагональной прямой верхнего основания, а другой - на не параллельной ей диагональной прямой нижнего основания. Как мы увидим, замена диагоналей на диагональные прямые позволяет упростить задачу.
Если $MN$ - отрезок длины $l$, о котором идет речь в условии задачи, а расстояние между плоскостями верхнего и нижнего оснований равно $a$, то проекция $MK$ отрезка $MN$ на плоскость нижнего основания равна $\sqrt {l^2 - a^2}$ (рис.). Проекция $G$ середины $E$ отрезка $MN$ делит $MK$ пополам, поэтому $MG = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$. Треугольник $MKO$ прямоугольный, а $GO$ - его медиана. Следовательно, $GO = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$. Тем самым мы установили, что для фиксированного $l$ точка $G$ всегда отстоит от точки $O$ на одинаковом расстоянии, равном $\frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$, т. е. лежит на окружности радиуса $\frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$ с центром в точке $O$.
Итак, если точка $E$ принадлежит искомому геометрическому месту, то она лежит в плоскости, параллельной основаниям куба и проходящей через середину $F$ отрезка $OO_1$ и принадлежит окружности радиуса $\frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$ с центром в точке $F$.
Для той измененной задачи, которую мы рассматриваем, верно и обратное утверждение: любую точку $E$, принадлежащую описанной выше окружности, можно спроектировать в точку $G$ плоскости нижнего основания и радиусом $GO$ сделать из точки $G$ засечки $M$ и $К$ на диагональных прямых нижнего основания. Построив перпендикуляр $NK$, мы сможем найти и отрезок $MN$ длины $l$, серединой которого является точка $E$.
Теперь остается учесть тот факт, что точка $E$ и отрезок $MN$ не должны покидать пределы куба.
Для этого нужно уловить тот момент, после которого один конец отрезка $MN$, например $M$, покинет куб. Ясно, что это произойдет, когда точка $M$ совместится с одной из вершин квадрата $ABCD$. Пусть точка $M$ совпала с вершиной $А$ (рис.). В зависимости от длины $l$ отрезка $MN$ проекция $К$ точки $N$ расположится на отрезке $OB$. При изменении длины отрезка $MN$ точка $К$ пробегает весь отрезок $ВО$, а середина $О$ отрезка $MK$ пробегает в это время отрезок $А_2P$, являющийся средней линией треугольника $ABO$.
Теперь ясно, что проекция точки $Е$ на плоскость нижнего основания куба не может выйти из квадрата $A_2B_2C_2D_2$ (рис.).
Итак, искомое геометрическое место точек расположено в горизонтальном сечении куба, проходящем через его центр. Это - часть окружности с центром в центре куба, не выходящая за пределы квадрата, проектирующегося в $A_2B_2C_2D_2$.
Дан куб с ребром $a$. Найти геометрическое место середин отрезков длины $l$, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой -на не параллельной ей диагонали нижнего основания.
Решение:
Для данного куба с ребром $a$ найдем сначала геометрическое место середин отрезков длины $l$, один из концов которых лежит на диагональной прямой верхнего основания, а другой - на не параллельной ей диагональной прямой нижнего основания. Как мы увидим, замена диагоналей на диагональные прямые позволяет упростить задачу.
Если $MN$ - отрезок длины $l$, о котором идет речь в условии задачи, а расстояние между плоскостями верхнего и нижнего оснований равно $a$, то проекция $MK$ отрезка $MN$ на плоскость нижнего основания равна $\sqrt {l^2 - a^2}$ (рис.). Проекция $G$ середины $E$ отрезка $MN$ делит $MK$ пополам, поэтому $MG = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$. Треугольник $MKO$ прямоугольный, а $GO$ - его медиана. Следовательно, $GO = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$. Тем самым мы установили, что для фиксированного $l$ точка $G$ всегда отстоит от точки $O$ на одинаковом расстоянии, равном $\frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$, т. е. лежит на окружности радиуса $\frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$ с центром в точке $O$.
Итак, если точка $E$ принадлежит искомому геометрическому месту, то она лежит в плоскости, параллельной основаниям куба и проходящей через середину $F$ отрезка $OO_1$ и принадлежит окружности радиуса $\frac{1}{2} \sqrt {l^2 - a^2}$ с центром в точке $F$.
Для той измененной задачи, которую мы рассматриваем, верно и обратное утверждение: любую точку $E$, принадлежащую описанной выше окружности, можно спроектировать в точку $G$ плоскости нижнего основания и радиусом $GO$ сделать из точки $G$ засечки $M$ и $К$ на диагональных прямых нижнего основания. Построив перпендикуляр $NK$, мы сможем найти и отрезок $MN$ длины $l$, серединой которого является точка $E$.
Теперь остается учесть тот факт, что точка $E$ и отрезок $MN$ не должны покидать пределы куба.
Для этого нужно уловить тот момент, после которого один конец отрезка $MN$, например $M$, покинет куб. Ясно, что это произойдет, когда точка $M$ совместится с одной из вершин квадрата $ABCD$. Пусть точка $M$ совпала с вершиной $А$ (рис.). В зависимости от длины $l$ отрезка $MN$ проекция $К$ точки $N$ расположится на отрезке $OB$. При изменении длины отрезка $MN$ точка $К$ пробегает весь отрезок $ВО$, а середина $О$ отрезка $MK$ пробегает в это время отрезок $А_2P$, являющийся средней линией треугольника $ABO$.
Теперь ясно, что проекция точки $Е$ на плоскость нижнего основания куба не может выйти из квадрата $A_2B_2C_2D_2$ (рис.).
Итак, искомое геометрическое место точек расположено в горизонтальном сечении куба, проходящем через его центр. Это - часть окружности с центром в центре куба, не выходящая за пределы квадрата, проектирующегося в $A_2B_2C_2D_2$.
