Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2288
2019-03-21 
Hа плоскости даны два отрезка: $AB$ и $CD$. Найти геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых площади треугольников $ABM$ и $CDM$ равны.
Решение:
Рассмотрим вначале случай, когда прямые $AB$ и $CD$, на которых лежат данные отрезки, пересекаются в некоторой точке $N$ (рис.). Пусть точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту. Площади треугольников $ABM$ и $CDM$ не изменятся, если каждый из отрезков $AB$ и $CD$ двигать по несущей его прямой. Переместим отрезки так, чтобы они имели своим общим концом точку $N$. Отрезок $AB$ перейдет в $NB^{\prime}$ отрезок $CD$ - в $ND^{\prime}$. Поскольку пары треугольников $ABM, NB^{\prime}M$ и $CDM$, $ND^{\prime}M$ равновелики, то искомое геометрическое место точек можно характеризовать тем свойством, что площади треугольников $NB^{\prime}M$ и $ND^{\prime}M$ равны.
Итак, задача свелась к предыдущей (см. задачу 2287): для треугольника $B^{\prime}ND^{\prime}$ найти геометрическое место точек $M$ таких, что площади треугольников $NB^{\prime}M$ и $ND^{\prime}M$ равны. Мы уже доказали, что это - все прямые $NK$ и $NL$, первая из которых проходит через середину $B^{\prime}D^{\prime}$, а вторая параллельна $B^{\prime}D^{\prime}$.
Рассмотрим теперь случай, когда прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Сместим отрезок $AB$ по несущей его прямой так, чтобы его центр совпал с центром $CD$ (рис.). Если точка $M$ (на рисунке она не изображена) принадлежит искомому геометрическому месту точек, то отношение ее расстояний до прямых $AB$ и $CD$ есть отношение высот в треугольниках $ABM$ и $CDM$. Площади этих треугольников будут равны тогда и только тогда, когда отношение расстояний от точки $M$ до $AB$ и $CD$ будет равно отношению отрезков $CD$ и $AB$. Таким образом, искомое геометрическое место есть две параллельные прямые, расстояния которых до $CD$ и $AB$ относятся, как $AB:CD$.
Чтобы построить это геометрическое место точек, сместим отрезок $AB$ по несущей его прямой так, чтобы его центр оказался на общем перпендикуляре к $AB$ и $CD$ с центром $E$ отрезка $CD$ (рис.). Прямые $DA^{\prime}$ и $CB^{\prime}$ пересекутся в точке $P$, которая делит $EF$ в отношении $PF:PE = AB:CD$, а прямые $DB^{\prime}$ и $CA^{\prime}$ пересекутся в точке $Q$, для которой $QF:QE - AB:CD$. Остается на прямой $EF$ (рис.) построить отрезки $EP^{\prime} = FP$ и $EQ^{\prime} = FQ$. Прямые $P^{\prime}K$ и $Q^{\prime}L$, проведенные через $P^{\prime}$ и $Q^{\prime}$ параллельно $AB$ и $CD$, образуют искомое геометрическое место точек.
Hа плоскости даны два отрезка: $AB$ и $CD$. Найти геометрическое место точек $M$ плоскости, для которых площади треугольников $ABM$ и $CDM$ равны.
Решение:
Рассмотрим вначале случай, когда прямые $AB$ и $CD$, на которых лежат данные отрезки, пересекаются в некоторой точке $N$ (рис.). Пусть точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту. Площади треугольников $ABM$ и $CDM$ не изменятся, если каждый из отрезков $AB$ и $CD$ двигать по несущей его прямой. Переместим отрезки так, чтобы они имели своим общим концом точку $N$. Отрезок $AB$ перейдет в $NB^{\prime}$ отрезок $CD$ - в $ND^{\prime}$. Поскольку пары треугольников $ABM, NB^{\prime}M$ и $CDM$, $ND^{\prime}M$ равновелики, то искомое геометрическое место точек можно характеризовать тем свойством, что площади треугольников $NB^{\prime}M$ и $ND^{\prime}M$ равны.
Итак, задача свелась к предыдущей (см. задачу 2287): для треугольника $B^{\prime}ND^{\prime}$ найти геометрическое место точек $M$ таких, что площади треугольников $NB^{\prime}M$ и $ND^{\prime}M$ равны. Мы уже доказали, что это - все прямые $NK$ и $NL$, первая из которых проходит через середину $B^{\prime}D^{\prime}$, а вторая параллельна $B^{\prime}D^{\prime}$.
Рассмотрим теперь случай, когда прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Сместим отрезок $AB$ по несущей его прямой так, чтобы его центр совпал с центром $CD$ (рис.). Если точка $M$ (на рисунке она не изображена) принадлежит искомому геометрическому месту точек, то отношение ее расстояний до прямых $AB$ и $CD$ есть отношение высот в треугольниках $ABM$ и $CDM$. Площади этих треугольников будут равны тогда и только тогда, когда отношение расстояний от точки $M$ до $AB$ и $CD$ будет равно отношению отрезков $CD$ и $AB$. Таким образом, искомое геометрическое место есть две параллельные прямые, расстояния которых до $CD$ и $AB$ относятся, как $AB:CD$.
Чтобы построить это геометрическое место точек, сместим отрезок $AB$ по несущей его прямой так, чтобы его центр оказался на общем перпендикуляре к $AB$ и $CD$ с центром $E$ отрезка $CD$ (рис.). Прямые $DA^{\prime}$ и $CB^{\prime}$ пересекутся в точке $P$, которая делит $EF$ в отношении $PF:PE = AB:CD$, а прямые $DB^{\prime}$ и $CA^{\prime}$ пересекутся в точке $Q$, для которой $QF:QE - AB:CD$. Остается на прямой $EF$ (рис.) построить отрезки $EP^{\prime} = FP$ и $EQ^{\prime} = FQ$. Прямые $P^{\prime}K$ и $Q^{\prime}L$, проведенные через $P^{\prime}$ и $Q^{\prime}$ параллельно $AB$ и $CD$, образуют искомое геометрическое место точек.
