Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2287
2019-03-21 
Дан треугольник $ABC$. Найти геометрическое место точек $M$ таких, что площади треугольников $AMB$ и $BMC$ равны.
Решение:
Прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, разбивают плоскость на четыре угла (рис.). Пусть точка $M$ принадлежит нашему геометрическому месту точек и лежит внутри одного из углов $ABC$ или $DBE$. Проведем прямую $BM$ и обозначим через $F$ точку ее пересечения с $AC$. Так как точка $M$ принадлежит рассматриваемому геометрическому месту точек, то $S_{AMB} = S_{CMB}$. Поскольку $MB$ - общая сторона треугольников $AMB$ и $CMB$, то $h_1 = h_2$ (рис.). Следовательно, отрезок выделит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника $AFB$ и $CFB$ ($BF$ - общая сторона, $h_1 = h_2$). Если основаниями этих треугольников считать соответственно $AF$ и $FC$, то мы придем к выводу, что $AF = FC$, поскольку треугольники $AFB$ и $CFB$ имеют общую высоту. Итак, если точка $M$ лежит внутри одного из углов $ABC$ или $DBE$, то она лежит на прямой $BF$, проходящей через середину $AC$.
Пусть точка $M$ лежит внутри одного из двух оставшихся углов $ABD$ или $CBE$ (рис.). Треугольники $AMB$ и $CMB$ снова имеют общую сторону $MB$, и поскольку они равновелики, то $h_1 = h_2$. Следовательно, прямая $MB$ параллельна $AC$.
Mы рассмотрели всевозможные случаи расположения точки $M$ на плоскости. Таким образом, доказано, что если точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту точек, то она лежит либо на прямой $BF$, проходящей через середину $AC$, либо на прямой $MB$, параллельной $AC$.
Легко проверить, что каждая точка этих двух прямых обладает необходимым свойством. Следовательно, прямые $BF$ и $MB$ образуют искомое геометрическое место точек (рис.).
Дан треугольник $ABC$. Найти геометрическое место точек $M$ таких, что площади треугольников $AMB$ и $BMC$ равны.
Решение:
Прямые, на которых лежат стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, разбивают плоскость на четыре угла (рис.). Пусть точка $M$ принадлежит нашему геометрическому месту точек и лежит внутри одного из углов $ABC$ или $DBE$. Проведем прямую $BM$ и обозначим через $F$ точку ее пересечения с $AC$. Так как точка $M$ принадлежит рассматриваемому геометрическому месту точек, то $S_{AMB} = S_{CMB}$. Поскольку $MB$ - общая сторона треугольников $AMB$ и $CMB$, то $h_1 = h_2$ (рис.). Следовательно, отрезок выделит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника $AFB$ и $CFB$ ($BF$ - общая сторона, $h_1 = h_2$). Если основаниями этих треугольников считать соответственно $AF$ и $FC$, то мы придем к выводу, что $AF = FC$, поскольку треугольники $AFB$ и $CFB$ имеют общую высоту. Итак, если точка $M$ лежит внутри одного из углов $ABC$ или $DBE$, то она лежит на прямой $BF$, проходящей через середину $AC$.
Пусть точка $M$ лежит внутри одного из двух оставшихся углов $ABD$ или $CBE$ (рис.). Треугольники $AMB$ и $CMB$ снова имеют общую сторону $MB$, и поскольку они равновелики, то $h_1 = h_2$. Следовательно, прямая $MB$ параллельна $AC$.
Mы рассмотрели всевозможные случаи расположения точки $M$ на плоскости. Таким образом, доказано, что если точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту точек, то она лежит либо на прямой $BF$, проходящей через середину $AC$, либо на прямой $MB$, параллельной $AC$.
Легко проверить, что каждая точка этих двух прямых обладает необходимым свойством. Следовательно, прямые $BF$ и $MB$ образуют искомое геометрическое место точек (рис.).
