Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2286
2019-03-21 
Hа плоскости зафиксированы две различные точки $A$ и $B$. Доказать, что геометрическое место точек $M$, удовлетворяющих условию $2{AM}^2 + {MB}^2 = {AB}^2$, есть окружность с диаметром $AC$, где точка $C$ лежит на отрезке $AB$, причем, $\frac {AC}{BC} = 2$.
Решение:
Докажем вначале, что если точка $M$ лежит на рассматриваемой окружности, то выполняется сформулированное в условии задачи соотношение. Обозначим центр окружности буквой $O$ и выберем на окружности произвольную точку $M$, отличную от $A$ и $C$ (рис.).
Применим к стороне $MB$ треугольника $AMB$ теорему косинусов:
${MB}^2 = {AM}^2 + {AB}^2 - 2AM \cdot AB \cos A$.
Из треугольника $AMO$ находим $AM = 2AO \cos A$, откуда $\cos A = \frac{AM}{2AO}$. По условию $AO = \frac{AB}{3}$. Подставляя $\cos A = \frac{3AM}{2AB}$ в выражение для ${MB}^2$, получим
${MB}^2 = {AM}^2 + {AB}^2 - 3{AM}^2$,
т. е.
$2 {AM}^2 + {MB}^2 = {AB}^2$,
что и требовалось проверить.
Простой проверкой легко убедиться, что это соотношение справедливо, если $M$ совпадает с $A$ и если $M$ совпадает с $C$. B первом случае $AM = 0$, а $MB = AB$ и равенство становится очевидным ${AB}^2 = {AB}^2$. Bо втором случае $AM = AC = \frac{2}{3} AB$, $MB = CB = \frac{1}{3} AB$ и
$2 \left ( \frac{2}{3} AB \right )^2 + \left ( \frac{1}{3} AB \right )^2 = {AB}^2$.
Перейдем к доказательству обратного утверждения. Докажем, что если в треугольнике $AMB$
$3AO = AB$ и $2{AM}^2 + {MB}^2 = {AB}^2$,
то $AO = MO$, т. е. точка $M$ лежит на окружности радиуса $AO$. Начнем со случая, когда $M$ не лежит на $AB$. Предыдущие рассуждения подсказывают. нам, что полезно воспользоваться не только данным соотношением, но и теоремой косинусов для треугольника $AMB$:
${MB}^2 = {AM}^2 + {AB}^2 - 2 AM \cdot AB \cos A$.
Tак как мы не знаем, чему равен $\cos A$, то постараемся его исключить. Запишем теорему косинусов для стороны $MO$ треугольника $AMO$ (учтем при этом, что $3AO = AB$):
${MO}^2 = {AM}^2 + \frac{1}{9} {AB}^2 - \frac{2}{3} AM \cdot AB \cos A$.
Умножив последнее равенство на -3 и сложив с выражением для ${MB}^2$, получим
${MB}^2 - 3{MO}^2 = - 2{AM}^2 + \frac{2}{3} {AB}^2$.
Заменяя ${MB}^2 + 2{AM}^2$ на ${AB}^2$, придем к равенству
${AB}^2 = 3{MO}^2 + \frac{3}{2} {AB}^2$,
т.е.
${AB}^2 = 9{MO}^2$,
откуда $AB = 3MO$ и $MO = AO$, что и требовалось показать.
Если теперь точка $M$ лежит на прямой $AB$, то она может располагаться либо на отрезке $AB$ (включая его концы), либо вне этого отрезка.
Пусть точка $M$ расположена вне отрезка $AB$. Тогда или $AM + AB = MB$, или $MB + AB = AM$. B первом случае получаем $AB = MB - AM$, а после возведения в квадрат: ${AB}^2 = {AM}^2 + {MB}^2 - 2AM \cdot MB$. Заменяя ${AB}^2$ на $2{AM}^2 + {MB}^2$, придем к равенству $AM = -2 MB$, которое абсурдно. Аналогично рассматривается второй случай.
Пусть теперь точка $M$ расположена на отрезке $AB$. Тогда $AM + MB = AB$, что после возведения в квадрат и замены ${AB}^2$ на $2{AM}^2 + {MB}^2$ приводит к равенству
${AM}^2 = 2MB \cdot AM$.
Из этого равенства следует, что либо $AM = 0$ (точки $A$ и $M$ совпадают), либо $AM = 2MB$ (точка $M$ совпадает с точкой $C$).
Tем самым доказательство полностью завершено.
Hа плоскости зафиксированы две различные точки $A$ и $B$. Доказать, что геометрическое место точек $M$, удовлетворяющих условию $2{AM}^2 + {MB}^2 = {AB}^2$, есть окружность с диаметром $AC$, где точка $C$ лежит на отрезке $AB$, причем, $\frac {AC}{BC} = 2$.
Решение:
Докажем вначале, что если точка $M$ лежит на рассматриваемой окружности, то выполняется сформулированное в условии задачи соотношение. Обозначим центр окружности буквой $O$ и выберем на окружности произвольную точку $M$, отличную от $A$ и $C$ (рис.).
Применим к стороне $MB$ треугольника $AMB$ теорему косинусов:
${MB}^2 = {AM}^2 + {AB}^2 - 2AM \cdot AB \cos A$.
Из треугольника $AMO$ находим $AM = 2AO \cos A$, откуда $\cos A = \frac{AM}{2AO}$. По условию $AO = \frac{AB}{3}$. Подставляя $\cos A = \frac{3AM}{2AB}$ в выражение для ${MB}^2$, получим
${MB}^2 = {AM}^2 + {AB}^2 - 3{AM}^2$,
т. е.
$2 {AM}^2 + {MB}^2 = {AB}^2$,
что и требовалось проверить.
Простой проверкой легко убедиться, что это соотношение справедливо, если $M$ совпадает с $A$ и если $M$ совпадает с $C$. B первом случае $AM = 0$, а $MB = AB$ и равенство становится очевидным ${AB}^2 = {AB}^2$. Bо втором случае $AM = AC = \frac{2}{3} AB$, $MB = CB = \frac{1}{3} AB$ и
$2 \left ( \frac{2}{3} AB \right )^2 + \left ( \frac{1}{3} AB \right )^2 = {AB}^2$.
Перейдем к доказательству обратного утверждения. Докажем, что если в треугольнике $AMB$
$3AO = AB$ и $2{AM}^2 + {MB}^2 = {AB}^2$,
то $AO = MO$, т. е. точка $M$ лежит на окружности радиуса $AO$. Начнем со случая, когда $M$ не лежит на $AB$. Предыдущие рассуждения подсказывают. нам, что полезно воспользоваться не только данным соотношением, но и теоремой косинусов для треугольника $AMB$:
${MB}^2 = {AM}^2 + {AB}^2 - 2 AM \cdot AB \cos A$.
Tак как мы не знаем, чему равен $\cos A$, то постараемся его исключить. Запишем теорему косинусов для стороны $MO$ треугольника $AMO$ (учтем при этом, что $3AO = AB$):
${MO}^2 = {AM}^2 + \frac{1}{9} {AB}^2 - \frac{2}{3} AM \cdot AB \cos A$.
Умножив последнее равенство на -3 и сложив с выражением для ${MB}^2$, получим
${MB}^2 - 3{MO}^2 = - 2{AM}^2 + \frac{2}{3} {AB}^2$.
Заменяя ${MB}^2 + 2{AM}^2$ на ${AB}^2$, придем к равенству
${AB}^2 = 3{MO}^2 + \frac{3}{2} {AB}^2$,
т.е.
${AB}^2 = 9{MO}^2$,
откуда $AB = 3MO$ и $MO = AO$, что и требовалось показать.
Если теперь точка $M$ лежит на прямой $AB$, то она может располагаться либо на отрезке $AB$ (включая его концы), либо вне этого отрезка.
Пусть точка $M$ расположена вне отрезка $AB$. Тогда или $AM + AB = MB$, или $MB + AB = AM$. B первом случае получаем $AB = MB - AM$, а после возведения в квадрат: ${AB}^2 = {AM}^2 + {MB}^2 - 2AM \cdot MB$. Заменяя ${AB}^2$ на $2{AM}^2 + {MB}^2$, придем к равенству $AM = -2 MB$, которое абсурдно. Аналогично рассматривается второй случай.
Пусть теперь точка $M$ расположена на отрезке $AB$. Тогда $AM + MB = AB$, что после возведения в квадрат и замены ${AB}^2$ на $2{AM}^2 + {MB}^2$ приводит к равенству
${AM}^2 = 2MB \cdot AM$.
Из этого равенства следует, что либо $AM = 0$ (точки $A$ и $M$ совпадают), либо $AM = 2MB$ (точка $M$ совпадает с точкой $C$).
Tем самым доказательство полностью завершено.
