Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2285
2019-03-21 
Hа плоскости зафиксированы две различные точки $A$ и $B$. Найти геометрическое место точек $M$, для каждой из которых $AM \cdot BM \cos \angle AMB = 3/4 {AB}^2$,
Решение:
Пусть точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту точек. По теореме косинусов для треугольника $AMB$ (рис.) имеем
${AB}^2 = {AM}^2 + {BM}^2 - 2AM \cdot BM \cos \alpha$.
Так как
$AM \cdot BM \cos \alpha = 3/4 {AB}^2$,
то
${AM}^2 + {BM}^2 = \frac{5}{2} {AB}^2$.
Положение точки $M$ определяется медианой $MC$, которая равна
$4 {MC}^2 = 2 {AM}^2 + 2 {BM}^2 - {AB}^2$.
Воспользуемся предыдущим соотношением и заменим $2 ({AM}^2 + {BM}^2)$ на $5 {AB}^2$:
$4 {MC}^2 = 5 {AB}^2 - {AB}^2$, т.е. $MC = AB$.
Итак, искомое геометрическое место точек - окружность радиуса $AB$ с центром в середине $AB$.
Hа плоскости зафиксированы две различные точки $A$ и $B$. Найти геометрическое место точек $M$, для каждой из которых $AM \cdot BM \cos \angle AMB = 3/4 {AB}^2$,
Решение:
Пусть точка $M$ принадлежит искомому геометрическому месту точек. По теореме косинусов для треугольника $AMB$ (рис.) имеем
${AB}^2 = {AM}^2 + {BM}^2 - 2AM \cdot BM \cos \alpha$.
Так как
$AM \cdot BM \cos \alpha = 3/4 {AB}^2$,
то
${AM}^2 + {BM}^2 = \frac{5}{2} {AB}^2$.
Положение точки $M$ определяется медианой $MC$, которая равна
$4 {MC}^2 = 2 {AM}^2 + 2 {BM}^2 - {AB}^2$.
Воспользуемся предыдущим соотношением и заменим $2 ({AM}^2 + {BM}^2)$ на $5 {AB}^2$:
$4 {MC}^2 = 5 {AB}^2 - {AB}^2$, т.е. $MC = AB$.
Итак, искомое геометрическое место точек - окружность радиуса $AB$ с центром в середине $AB$.
