Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2283
2019-03-21 
B точке $E$, находящейся на расстоянии $2h$ от плоскости основания куба с ребром $h$ и на расстоянии $R > 2h$ от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку $E$ и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.
Решение:
Чтобы построить тень куба, достаточно построить тень, отбрасываемую верхним основанием. По условию источник света расположен на высоте $2h$. Из подобия треугольников, получающихся при построении тени, следует, что тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат $A_2B_2C_2D_2$ (рис. см.). Каждая сторона этого квадрата параллельна соответствующей стороне основания куба и равна $2h$. Отрезок $OO_2$, соединяющий центры квадратов $ABCD$ и $A_2B_2C_2D_2$, при вращении источника света не изменяется и равен $R$. Чтобы получить тень куба, нужно на рис., а построить «внешние» отрезки, соединяющие соответственные вершины квадрата $A_2B_2C_2D_2$ с вершинами нижнего основания куба.
Задача становится плоской. Нужно выяснить, когда площадь полученного многоугольника будет максимальной, если точка $O_2$ вращается вокруг точки $О$, а стороны квадрата $A_2B_2C_2D_2$ остаются параллельными сторонам квадрата $ABCD$.
В двух случаях (рис.) площадь будет достигать максимума по сравнению с близкими положениями точки $O_2$. В самом деле, если точка $O_2$ немного сместится из положения, изображенного на рис., вправо или влево по окружности радиуса $R$, то площадь тени уменьшится, так как уменьшится площадь трапеции $ADD_2A_2$: у этой трапеции основания $AD$ и $A_2D_2$ не изменятся, а высота станет меньше. То же самое произойдет и в случае, изображенном на рис. Здесь уменьшится площадь трапеции $BDD_2B_2$.
Остается сравнить площади этих двух фигур.
Площадь первой равна
$4h^2 + \frac{3h}{2} \left (R - \frac{h}{2} \right )$,
площадь второй
$\frac {3 \sqrt {2}}{2} Rh + \frac{5}{2} h^2$.
При $R > 2h$ вторая площадь больше, что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
B точке $E$, находящейся на расстоянии $2h$ от плоскости основания куба с ребром $h$ и на расстоянии $R > 2h$ от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку $E$ и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.
Решение:
Чтобы построить тень куба, достаточно построить тень, отбрасываемую верхним основанием. По условию источник света расположен на высоте $2h$. Из подобия треугольников, получающихся при построении тени, следует, что тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат $A_2B_2C_2D_2$ (рис. см.). Каждая сторона этого квадрата параллельна соответствующей стороне основания куба и равна $2h$. Отрезок $OO_2$, соединяющий центры квадратов $ABCD$ и $A_2B_2C_2D_2$, при вращении источника света не изменяется и равен $R$. Чтобы получить тень куба, нужно на рис., а построить «внешние» отрезки, соединяющие соответственные вершины квадрата $A_2B_2C_2D_2$ с вершинами нижнего основания куба.
Задача становится плоской. Нужно выяснить, когда площадь полученного многоугольника будет максимальной, если точка $O_2$ вращается вокруг точки $О$, а стороны квадрата $A_2B_2C_2D_2$ остаются параллельными сторонам квадрата $ABCD$.
В двух случаях (рис.) площадь будет достигать максимума по сравнению с близкими положениями точки $O_2$. В самом деле, если точка $O_2$ немного сместится из положения, изображенного на рис., вправо или влево по окружности радиуса $R$, то площадь тени уменьшится, так как уменьшится площадь трапеции $ADD_2A_2$: у этой трапеции основания $AD$ и $A_2D_2$ не изменятся, а высота станет меньше. То же самое произойдет и в случае, изображенном на рис. Здесь уменьшится площадь трапеции $BDD_2B_2$.
Остается сравнить площади этих двух фигур.
Площадь первой равна
$4h^2 + \frac{3h}{2} \left (R - \frac{h}{2} \right )$,
площадь второй
$\frac {3 \sqrt {2}}{2} Rh + \frac{5}{2} h^2$.
При $R > 2h$ вторая площадь больше, что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
