Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2282
2019-03-21 
B прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ - основания) даны длины ребер $AB = а, AD = b, AA_1 = с$. Пусть точка $O$ - центр основания $ABCD$, $O_1$ - центр основания $A_1B_1C_1D_1$ $F$ - точка, делящая отрезок $O_1O$ в отношении 1:3. Найти площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $F$ параллельно его диагонали $AC_1$ и диагонали $BD$ основания.
Решение:
B диагональной плоскости $BB_1D_1D$ (рис.) проведем через точку $F$ отрезок $EG$, параллельный $BD$. B другой диагональной плоскости $AA_1C_1C$ проведем через точку $F$ отрезок $KL \parallel AC_1$. B плоскости верхнего основания построим отрезок $MN \parallel B_1D_1$ и проходящий через точку $L$. Точки $K, G, N, M, E$ являются вершинами сечения, площадь которого мы должны вычислить. Это сечение - пятиугольник, разбивающийся на треугольник $EKG$ и трапецию $EGNM$. Если $KR$ - высота треугольника, а $Q$ - точка пересечения $KR$ и $EG$, то площадь пятиугольника равна
$\frac{1}{2} KQ \cdot EG + \frac{1}{2} (EG + MN) QR$.
Так как $KL \parallel AC_1$, то $LC_{1} = \frac{1}{4} A_{1}C_{1}$ и $MN = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} EG$. В свою очередь $EG = \sqrt {a^2 + b^2}$. Поэтому $MN = \frac{1}{2} \sqrt {a^2 + b^2}$.
Чтобы вычислить отрезки $KQ$ и $QR$, спроектируем $KR$ на плоскость основания. Точка $Q$ спроектируется в $P$, а точка $R$ - в $H$. Обозначим через $S$ и $T$ проекции точек $K$ и $Q$ на отрезки $QP$ и $RH$ соответственно.
По теореме о трех перпендикулярах $AP \perp BD$. Сравнивая площадь треугольника $ADB$, получим
$AP \cdot BD = ab$,
а так как $BD = \sqrt {a^2 + b^2}$, то
$AP = \frac {ab}{\sqrt {a^2 + b^2}}$.
Из подобия треугольников легко получим
$AK = \frac{1}{4} c, RT = \frac{1}{4} c, QS = \frac{1}{2} c$.
Поскольку $MN = \frac{1}{2} B_1D_1$, то $QR = \frac{1}{2} KQ$. Из треугольников $KQS$ находим
$KQ = \sqrt {{KS}^2 + {QS}^2} = \sqrt {{AP}^2 + {QS}^2} = \sqrt {\frac {a^2b^2}{a^2 + b^2} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2} {\frac {4a^2b^2 + c^2a^2 + c^2b^2}{a^2 + b^2}}$.
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:
$S = \frac{1}{2} KQ \cdot EG + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} EG \cdot \frac{1}{2} KQ = \frac{7}{8} EG \cdot KQ$.
Ответ. $\frac{7}{16} \sqrt {4a^2b^2 + c^2a^2 + c^2b^2}$.
B прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ - основания) даны длины ребер $AB = а, AD = b, AA_1 = с$. Пусть точка $O$ - центр основания $ABCD$, $O_1$ - центр основания $A_1B_1C_1D_1$ $F$ - точка, делящая отрезок $O_1O$ в отношении 1:3. Найти площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $F$ параллельно его диагонали $AC_1$ и диагонали $BD$ основания.
Решение:
B диагональной плоскости $BB_1D_1D$ (рис.) проведем через точку $F$ отрезок $EG$, параллельный $BD$. B другой диагональной плоскости $AA_1C_1C$ проведем через точку $F$ отрезок $KL \parallel AC_1$. B плоскости верхнего основания построим отрезок $MN \parallel B_1D_1$ и проходящий через точку $L$. Точки $K, G, N, M, E$ являются вершинами сечения, площадь которого мы должны вычислить. Это сечение - пятиугольник, разбивающийся на треугольник $EKG$ и трапецию $EGNM$. Если $KR$ - высота треугольника, а $Q$ - точка пересечения $KR$ и $EG$, то площадь пятиугольника равна
$\frac{1}{2} KQ \cdot EG + \frac{1}{2} (EG + MN) QR$.
Так как $KL \parallel AC_1$, то $LC_{1} = \frac{1}{4} A_{1}C_{1}$ и $MN = \frac{1}{2} B_1D_1 = \frac{1}{2} EG$. В свою очередь $EG = \sqrt {a^2 + b^2}$. Поэтому $MN = \frac{1}{2} \sqrt {a^2 + b^2}$.
Чтобы вычислить отрезки $KQ$ и $QR$, спроектируем $KR$ на плоскость основания. Точка $Q$ спроектируется в $P$, а точка $R$ - в $H$. Обозначим через $S$ и $T$ проекции точек $K$ и $Q$ на отрезки $QP$ и $RH$ соответственно.
По теореме о трех перпендикулярах $AP \perp BD$. Сравнивая площадь треугольника $ADB$, получим
$AP \cdot BD = ab$,
а так как $BD = \sqrt {a^2 + b^2}$, то
$AP = \frac {ab}{\sqrt {a^2 + b^2}}$.
Из подобия треугольников легко получим
$AK = \frac{1}{4} c, RT = \frac{1}{4} c, QS = \frac{1}{2} c$.
Поскольку $MN = \frac{1}{2} B_1D_1$, то $QR = \frac{1}{2} KQ$. Из треугольников $KQS$ находим
$KQ = \sqrt {{KS}^2 + {QS}^2} = \sqrt {{AP}^2 + {QS}^2} = \sqrt {\frac {a^2b^2}{a^2 + b^2} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2} {\frac {4a^2b^2 + c^2a^2 + c^2b^2}{a^2 + b^2}}$.
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:
$S = \frac{1}{2} KQ \cdot EG + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} EG \cdot \frac{1}{2} KQ = \frac{7}{8} EG \cdot KQ$.
Ответ. $\frac{7}{16} \sqrt {4a^2b^2 + c^2a^2 + c^2b^2}$.
