Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2281
2019-03-21 
B треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковое ребро равно $l$. B основании призмы лежит правильный треугольник со стороной $b$, а прямая, проходящая через вершину $B_1$ и центр основания $ABC$, перпендикулярна к основаниям. Найти площадь сечения, проходящего через ребро $AB$ и середину ребра $CC_1$.
Решение:
Cпроектируем $C_1C$ на плоскость основания призмы (рис.). Отрезок $EK$ - средняя линия в треугольнике $C_1CF$.
Через точки $K$ и $D$ проведем прямую, которая пересечет $AB$ в точке $M$. Докажем, что $EM$ - высота в треугольнике $ABE$.
Поскольку $KC= \frac{1}{2} FC$, a $DO = \frac{1}{2} OB$ ($ABC$ - правильный треугольник) и $FC = OB$ (треугольники $C_1FC$ и $B_1OB$ равны), то $KC = DO$, Покажем, что $KC \parallel DO$. B самом деле, так как $OB \perp AC$, то и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, $CC_1 \perp AC$, а значит, и $KC \perp AC$. Итак, $KC$ и $DO$ - параллельны, а фигура $KCOD$ - параллелограмм. Теперь мы можем воспользоваться тем, что отрезок $KM$ параллелен $CO$, а потому перпендикулярен к $AB$. Отсюда следует, что $EM$ - высота в треугольнике $ABE$.
Остаются простые вычисления:
$KE = \frac{1}{2} OB_1 = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - {OB}^2} = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - \frac{b^2}{3}}$,
$KD = CO = \frac{b \sqrt {3}}{3}$.
Площадь треугольника $ADB$ можно найти двумя способами: $\frac{1}{2} DM \cdot AB = \frac{1}{2} DB \cdot AD$, т. е. $b \cdot DM = \frac {b^2 \sqrt {3}}{4}$, откуда $MD = \frac {b \sqrt {3}}{4}$. Tеперь найдем $EM$:
$EM = \sqrt {{KE}^2 + {KM}^2} = \sqrt {{KE}^2 + {KD + DM}^2} = \frac{1}{4} \sqrt {4l^2 + 15b^2}$.
Ответ. $\frac{b}{8} \sqrt {4l^2 + 15 b^2}$.
B треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковое ребро равно $l$. B основании призмы лежит правильный треугольник со стороной $b$, а прямая, проходящая через вершину $B_1$ и центр основания $ABC$, перпендикулярна к основаниям. Найти площадь сечения, проходящего через ребро $AB$ и середину ребра $CC_1$.
Решение:
Cпроектируем $C_1C$ на плоскость основания призмы (рис.). Отрезок $EK$ - средняя линия в треугольнике $C_1CF$.
Через точки $K$ и $D$ проведем прямую, которая пересечет $AB$ в точке $M$. Докажем, что $EM$ - высота в треугольнике $ABE$.
Поскольку $KC= \frac{1}{2} FC$, a $DO = \frac{1}{2} OB$ ($ABC$ - правильный треугольник) и $FC = OB$ (треугольники $C_1FC$ и $B_1OB$ равны), то $KC = DO$, Покажем, что $KC \parallel DO$. B самом деле, так как $OB \perp AC$, то и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, $CC_1 \perp AC$, а значит, и $KC \perp AC$. Итак, $KC$ и $DO$ - параллельны, а фигура $KCOD$ - параллелограмм. Теперь мы можем воспользоваться тем, что отрезок $KM$ параллелен $CO$, а потому перпендикулярен к $AB$. Отсюда следует, что $EM$ - высота в треугольнике $ABE$.
Остаются простые вычисления:
$KE = \frac{1}{2} OB_1 = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - {OB}^2} = \frac{1}{2} \sqrt {l^2 - \frac{b^2}{3}}$,
$KD = CO = \frac{b \sqrt {3}}{3}$.
Площадь треугольника $ADB$ можно найти двумя способами: $\frac{1}{2} DM \cdot AB = \frac{1}{2} DB \cdot AD$, т. е. $b \cdot DM = \frac {b^2 \sqrt {3}}{4}$, откуда $MD = \frac {b \sqrt {3}}{4}$. Tеперь найдем $EM$:
$EM = \sqrt {{KE}^2 + {KM}^2} = \sqrt {{KE}^2 + {KD + DM}^2} = \frac{1}{4} \sqrt {4l^2 + 15b^2}$.
Ответ. $\frac{b}{8} \sqrt {4l^2 + 15 b^2}$.
