Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2280
2019-03-20 
Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна $S$. Вычислить площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
Решение:
Пусть $MN = a$ (рис.). Тогда $a \cdot SK = 2S$. Выразим искомую площадь через $а$ и $SK$. Отрезок $AB$ - средняя линия трапеции $IMNJ$, а отрезок $DC$ - средняя линия треугольника $SIJ$. Поэтому
$AB = \frac{3}{2} a, DC = а$.
Из подобия треугольников $SOK$ и $HOG$ следует, что $HG = \frac{1}{2} SK$. Осталось определить $HL$ и $EF$:
$HL = GL - GH = \frac{3}{4} SK - \frac{1}{2} SK = \frac{1}{4} SK$;
из подобных треугольников $FSL$ и $RSP$
$\frac{EF}{a} = \frac{SL}{SP} = \frac{KG}{KP} = \frac{1}{4}$, т.е. $EF = \frac{a}{4}$.
Теперь можно подсчитать площадь сечения, которая равна
$\frac{1}{2} (AB + CD) GH + \frac{1}{2} (CD + FE) HL = \frac{1}{2} \left ( \frac{5a}{2} GH + \frac{5}{4} aHL \right ) = \frac{5a}{4} \left ( \frac{1}{2} SK + \frac{1}{8} SK \right ) = \frac{25a}{32} SK$.
Так как $a SK = 2S$, то площадь сечения можно выразить через $S$.
Ответ. $\frac{25}{16} S$
Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна $S$. Вычислить площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
Решение:
Пусть $MN = a$ (рис.). Тогда $a \cdot SK = 2S$. Выразим искомую площадь через $а$ и $SK$. Отрезок $AB$ - средняя линия трапеции $IMNJ$, а отрезок $DC$ - средняя линия треугольника $SIJ$. Поэтому
$AB = \frac{3}{2} a, DC = а$.
Из подобия треугольников $SOK$ и $HOG$ следует, что $HG = \frac{1}{2} SK$. Осталось определить $HL$ и $EF$:
$HL = GL - GH = \frac{3}{4} SK - \frac{1}{2} SK = \frac{1}{4} SK$;
из подобных треугольников $FSL$ и $RSP$
$\frac{EF}{a} = \frac{SL}{SP} = \frac{KG}{KP} = \frac{1}{4}$, т.е. $EF = \frac{a}{4}$.
Теперь можно подсчитать площадь сечения, которая равна
$\frac{1}{2} (AB + CD) GH + \frac{1}{2} (CD + FE) HL = \frac{1}{2} \left ( \frac{5a}{2} GH + \frac{5}{4} aHL \right ) = \frac{5a}{4} \left ( \frac{1}{2} SK + \frac{1}{8} SK \right ) = \frac{25a}{32} SK$.
Так как $a SK = 2S$, то площадь сечения можно выразить через $S$.
Ответ. $\frac{25}{16} S$
