Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2279
2019-03-20 
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ Hа продолжении ребер $AB, AA_1, AD$ отложены соответственно отрезки $BP, A_1Q, DR$ длины 1,5 AB, Через точки $P, Q, R$ проведена плоскость. B каком отношении эта плоскость делит объем куба?
Решение:
Соединим точки $P, Q$ и $R$ с вершиной $A$ (рис.), после чего соединим их между собой. Продолжим $A_1B_1$ до пересечения с $QP$ в точке $E$ и $A_1D_1$ до пересечения с $QR$ в точке $F$. Обе точки $E$ и $F$ лежат в плоскости верхнего основания, а $EF$ - след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку $MK$.
Продолжим $DC$ до пересечения с $PR$ в точке $G$ и соединим $K$ с $G$. На ребре $CC_1$ получим точку $L$, принадлежащую сечению.
Из подобия треугольников $QA_1E$ и $QAP$ следует, что $A_1E = A_1Q = \frac{3}{2}a$, где $a$ - ребро куба.
Следовательно, $B_1E = \frac{a}{2}$. Аналогично $D_1F = \frac{a}{2}$ и $CG = \frac{a}{2}$, откуда следует, что $MC_1 = KC_1 = LC_1 = \frac{a}{2}$. Объем пирамиды $MC_1LK$ равен $\frac{a^3}{48}$.
Ответ. 1:47
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ Hа продолжении ребер $AB, AA_1, AD$ отложены соответственно отрезки $BP, A_1Q, DR$ длины 1,5 AB, Через точки $P, Q, R$ проведена плоскость. B каком отношении эта плоскость делит объем куба?
Решение:
Соединим точки $P, Q$ и $R$ с вершиной $A$ (рис.), после чего соединим их между собой. Продолжим $A_1B_1$ до пересечения с $QP$ в точке $E$ и $A_1D_1$ до пересечения с $QR$ в точке $F$. Обе точки $E$ и $F$ лежат в плоскости верхнего основания, а $EF$ - след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку $MK$.
Продолжим $DC$ до пересечения с $PR$ в точке $G$ и соединим $K$ с $G$. На ребре $CC_1$ получим точку $L$, принадлежащую сечению.
Из подобия треугольников $QA_1E$ и $QAP$ следует, что $A_1E = A_1Q = \frac{3}{2}a$, где $a$ - ребро куба.
Следовательно, $B_1E = \frac{a}{2}$. Аналогично $D_1F = \frac{a}{2}$ и $CG = \frac{a}{2}$, откуда следует, что $MC_1 = KC_1 = LC_1 = \frac{a}{2}$. Объем пирамиды $MC_1LK$ равен $\frac{a^3}{48}$.
Ответ. 1:47
