Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2275
2019-03-20 
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_l$ с ребром, равным единице.
Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $A$ и середины ребер $B_1C_1$ и $C_1D_1$.
Решение:
Проведем прямую $FG$, которая пересечет $A_1B_1$ и $A_1D_l$ в точках $M$ и $L$ соответственно (рис.). Соединив точки $M$ и $A$ и точки $L$ и $A$, получим еще две точки $E$ и $K$, принадлежащие сечению.
Площадь сечения $AEFGK$ вычислим как разность площади треугольника $AML$ и удвоенной площади треугольника $KGL$.
Треугольники $FB_1M$, $FC_1G$ и $GD_1L$ равны. Следовательно, $D_1L = B_1F = \frac{1}{2}$, $MF = FG =GL$. С помощью треугольников $MA_1L$ и $AA_1L$ можно найти стороны треугольника $AML$:
$ML = \frac{3 \sqrt {2}}{2}$,
$AM = AL = \sqrt {A_1A^2 + A_1L^2} = \frac{ \sqrt {13}}{2}$,
его высоту
$\sqrt {{AL}^2 - \left ( \frac{ML}{2} \right )^2} = \sqrt { \frac{17}{8}}$
и его площадь $\frac{ 3 \sqrt {17}}{8}$.
Треугольники $AML$ и $KGL$ подобны, так как $GK$ и $AM$ параллельны (они получены в результате пересечения двух параллельных граней куба плоскостью сечения), с коэффициентом подобия 1/3 (мы доказали раньше, что $3GL = ML$). Следовательно, площадь треугольника $KGL$ равна 1/9 площади треугольника $AML$, а площадь сечения $AEFGK$ равна 7/9 площади $AML$.
Ответ. $\frac{7 \sqrt {17}}{24}$.
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_l$ с ребром, равным единице.
Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $A$ и середины ребер $B_1C_1$ и $C_1D_1$.
Решение:
Проведем прямую $FG$, которая пересечет $A_1B_1$ и $A_1D_l$ в точках $M$ и $L$ соответственно (рис.). Соединив точки $M$ и $A$ и точки $L$ и $A$, получим еще две точки $E$ и $K$, принадлежащие сечению.
Площадь сечения $AEFGK$ вычислим как разность площади треугольника $AML$ и удвоенной площади треугольника $KGL$.
Треугольники $FB_1M$, $FC_1G$ и $GD_1L$ равны. Следовательно, $D_1L = B_1F = \frac{1}{2}$, $MF = FG =GL$. С помощью треугольников $MA_1L$ и $AA_1L$ можно найти стороны треугольника $AML$:
$ML = \frac{3 \sqrt {2}}{2}$,
$AM = AL = \sqrt {A_1A^2 + A_1L^2} = \frac{ \sqrt {13}}{2}$,
его высоту
$\sqrt {{AL}^2 - \left ( \frac{ML}{2} \right )^2} = \sqrt { \frac{17}{8}}$
и его площадь $\frac{ 3 \sqrt {17}}{8}$.
Треугольники $AML$ и $KGL$ подобны, так как $GK$ и $AM$ параллельны (они получены в результате пересечения двух параллельных граней куба плоскостью сечения), с коэффициентом подобия 1/3 (мы доказали раньше, что $3GL = ML$). Следовательно, площадь треугольника $KGL$ равна 1/9 площади треугольника $AML$, а площадь сечения $AEFGK$ равна 7/9 площади $AML$.
Ответ. $\frac{7 \sqrt {17}}{24}$.
