Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2274
2019-03-20 
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ Через вершину $A$, середину ребра $BC$ и центр грани $CC_1D_1D$ проходит секущая плоскость. Найти отношение, в котором она делит объем куба.
Решение:
Проведем $AE$ до пересечения с $DC$ в точке $F$ (рис.). Точка $F$ лежит в плоскости грани $DD_1C_1C$, в которой лежит еще одна точка $O$, принадлежащая сечению. Проведем $FO$ до пересечения с $D_1D$ в точке $N$. Таким образом, сечение, о котором идет речь в условии, построено; это $ANME$ на рис.).
Обозначим ребро куба через а и вычислим объем фигуры, лежащей под сечением, как разность объемов двух пирамид: $NAFD$ и $MEFC$.
Отрезок $EC$ - средняя линия в треугольнике $AFD$, следовательно, $CF = CD = а$.
Вычертим отдельно треугольник $NFD$ и проведем $OK \parallel ND$ (рис.). Так как $O$ - центр грани куба, то $OK = \frac{a}{2}$, $DK = KC = \frac{a}{2}$. Из подобия образовавшихся треугольников находим
$MC = \frac{a}{3}$,
$ND = 2MC = \frac{2a}{3}$.
Так как треугольники $EFC$ и $EAB$ равны (рис.), то площадь треугольника $AFD$ равна $а^2$, а площадь треугольника $EFC$ равна $\frac{a^2}{4}$. Теперь можно вычислить объем фигуры, лежащей под сечением $ANME$:
$\frac{1}{3} ND \cdot a^2 - \frac{1}{3} MC \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{1}{3} \frac{2a}{3} a^2 - \frac{1}{3} \frac{a}{3} \frac{a^2}{4} = \frac {7a^2}{36}$, и найти искомое отношение объемов.
Ответ. 29:7.
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ Через вершину $A$, середину ребра $BC$ и центр грани $CC_1D_1D$ проходит секущая плоскость. Найти отношение, в котором она делит объем куба.
Решение:
Проведем $AE$ до пересечения с $DC$ в точке $F$ (рис.). Точка $F$ лежит в плоскости грани $DD_1C_1C$, в которой лежит еще одна точка $O$, принадлежащая сечению. Проведем $FO$ до пересечения с $D_1D$ в точке $N$. Таким образом, сечение, о котором идет речь в условии, построено; это $ANME$ на рис.).
Обозначим ребро куба через а и вычислим объем фигуры, лежащей под сечением, как разность объемов двух пирамид: $NAFD$ и $MEFC$.
Отрезок $EC$ - средняя линия в треугольнике $AFD$, следовательно, $CF = CD = а$.
Вычертим отдельно треугольник $NFD$ и проведем $OK \parallel ND$ (рис.). Так как $O$ - центр грани куба, то $OK = \frac{a}{2}$, $DK = KC = \frac{a}{2}$. Из подобия образовавшихся треугольников находим
$MC = \frac{a}{3}$,
$ND = 2MC = \frac{2a}{3}$.
Так как треугольники $EFC$ и $EAB$ равны (рис.), то площадь треугольника $AFD$ равна $а^2$, а площадь треугольника $EFC$ равна $\frac{a^2}{4}$. Теперь можно вычислить объем фигуры, лежащей под сечением $ANME$:
$\frac{1}{3} ND \cdot a^2 - \frac{1}{3} MC \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{1}{3} \frac{2a}{3} a^2 - \frac{1}{3} \frac{a}{3} \frac{a^2}{4} = \frac {7a^2}{36}$, и найти искомое отношение объемов.
Ответ. 29:7.
