Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2273
2019-03-20 
Правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$, вращается вокруг прямой, проходящей через ее вершину и параллельной стороне основания. Вычислить объем тела вращения, если плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$.
Решение:
Плоскость $\Pi$, проходящая через ось $PP$ и центр $O$ основания пирамиды, образует в сечении некоторый треугольник $SMN$ (рис.). Повернем треугольник $SAB$ около оси $PP$ так, чтобы он лег в плоскость $\:П$. Так как $AB = MN$, а высота $SO$ меньше высоты $SK$, то треугольники расположатся так, как показано на рис. Любое другое сечение $SEF$ пирамиды попадет внутрь пятиугольника $SMABN$, а все сечения дважды покроют этот пятиугольник.
Остается определить объем тела, полученного от вращения пятиугольника $SMABN$ вокруг оси $PP$. Половину искомого объема можно получить в виде разности объемов цилиндра, полученного от вращения прямоугольника $SKBL$, и конуса, полученного от вращения треугольника $SNL$:
$\frac{1}{2} V_{SMABN} = V_{SKBL} - V_{SNL} = \pi SK^2 \cdot BK - \frac{1}{3} \pi LN^2 \cdot BK = \pi \cdot BK \left ({SK}^2 - \frac{1}{3} {LN}^2 \right )$.
Из соответствующих треугольников находим
$SK = \frac{a}{2} ctg \frac{\alpha}{2}; {LN}^2 = {SO}^2 = {SN}^2 - {NO}^2 = \frac{a^2}{4} ctg^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{a^2}{4}$.
Таким образом,
$V_{SMABN} = \pi a \left ( \frac{a^2}{4} ctg^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{3} \frac{a^2}{4} ctg^2 \frac{ \alpha}{2} + \frac{a^2}{12} \right ) = \frac {\pi a^3}{12} \left (2 ctg^2 \frac{ \alpha}{2} + 1 \right )$.
Ответ. $\frac {\pi a^3}{12} \left (2 ctg^2 \frac{\alpha}{2} + 1 \right )$.
Правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной $a$, вращается вокруг прямой, проходящей через ее вершину и параллельной стороне основания. Вычислить объем тела вращения, если плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$.
Решение:
Плоскость $\Pi$, проходящая через ось $PP$ и центр $O$ основания пирамиды, образует в сечении некоторый треугольник $SMN$ (рис.). Повернем треугольник $SAB$ около оси $PP$ так, чтобы он лег в плоскость $\:П$. Так как $AB = MN$, а высота $SO$ меньше высоты $SK$, то треугольники расположатся так, как показано на рис. Любое другое сечение $SEF$ пирамиды попадет внутрь пятиугольника $SMABN$, а все сечения дважды покроют этот пятиугольник.
Остается определить объем тела, полученного от вращения пятиугольника $SMABN$ вокруг оси $PP$. Половину искомого объема можно получить в виде разности объемов цилиндра, полученного от вращения прямоугольника $SKBL$, и конуса, полученного от вращения треугольника $SNL$:
$\frac{1}{2} V_{SMABN} = V_{SKBL} - V_{SNL} = \pi SK^2 \cdot BK - \frac{1}{3} \pi LN^2 \cdot BK = \pi \cdot BK \left ({SK}^2 - \frac{1}{3} {LN}^2 \right )$.
Из соответствующих треугольников находим
$SK = \frac{a}{2} ctg \frac{\alpha}{2}; {LN}^2 = {SO}^2 = {SN}^2 - {NO}^2 = \frac{a^2}{4} ctg^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{a^2}{4}$.
Таким образом,
$V_{SMABN} = \pi a \left ( \frac{a^2}{4} ctg^2 \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{3} \frac{a^2}{4} ctg^2 \frac{ \alpha}{2} + \frac{a^2}{12} \right ) = \frac {\pi a^3}{12} \left (2 ctg^2 \frac{ \alpha}{2} + 1 \right )$.
Ответ. $\frac {\pi a^3}{12} \left (2 ctg^2 \frac{\alpha}{2} + 1 \right )$.
