Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2272
2019-03-20 
Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $а$. На ребре $AB$ как на диаметре построена сфера. Найти радиус сферы, вписанной в трехгранный угол тетраэдра с вершиной в точке $A$ и касающейся построенной сферы.
Решение:
Так как угол $AOB$ (рис.) прямой, то точки $A$ и $O$ лежат на сфере, построенной на $AB$, как на диаметре. Следовательно, все внутренние точки отрезка $AO$ лежат внутри этой сферы. Поскольку центр сферы, радиус которой мы ищем, лежит на $AO$} то возможно лишь внутреннее касание сфер.
Центр $O_2$ вписанной сферы соединим с точкой $F$, в которой происходит касание сферы с одной из граней. Из подобия треугольников $FO_2A$ и $OKA$ имеем
$\frac {AO_2}{a \frac{ \sqrt {3}}{2}} = \frac {r}{a \frac{ \sqrt {3}}{6}}$, т. е. $AO_2 = 3r$,
где $r$ - искомый радиус.
Cпроектируем точку $O_1$ на $AO$ и рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1EO_2$. B нем $O_1O_2$ равно разности радиусов, т. е. $O_1O_2 = \frac{a}{2} - r$; $EO_1$ равно половине $OB$, т. е. $EO_1 = \frac {a \sqrt {3}}{6}$. Отрезок $O_2E = |AE - AO_2|$. Знак абсолютной величины означает, что точка $O_2$ может оказаться ниже точки $E$ либо выше ее (см. рис., на котором изображены оба случая). Так как $AE = \frac{1}{2} AO = \frac{a}{ \sqrt {6}}$, а $AO_2 = 3r$, $O_1E = \left | \frac {a}{\sqrt {6}} - 3 r \right |$.
По теореме Пифагора $O_2O_{1}^{2} = O_2E^2 + EAO_{1}^{2}$, т.е.
$\left ( \frac{a}{2} - r \right )^2 = \left ( \frac{a}{ \sqrt {6}} - 3r \right )^2 + \frac{a^2}{12}$.
После простых преобразований получим уравнение
$8r^2 + (1 - \sqrt {6}) ar = 0$,
откуда
$r = \frac {\sqrt {6} - 1}{8}a$.
Так как $AO_2 = 3r$, то $AO_2 = \frac {3 (\sqrt {6} - 1)}{8}a$, в то время как $AE = \frac{a}{ \sqrt {6}}$. Сравнивая $AO_2$ и $AE$, мы видим, что $AO_2$ больше. Следовательно, точка $O_2$ на рис. должна располагаться ниже точки $E$.
Ответ. $\frac {\sqrt {6} - 1}{8}a$.
Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $а$. На ребре $AB$ как на диаметре построена сфера. Найти радиус сферы, вписанной в трехгранный угол тетраэдра с вершиной в точке $A$ и касающейся построенной сферы.
Решение:
Так как угол $AOB$ (рис.) прямой, то точки $A$ и $O$ лежат на сфере, построенной на $AB$, как на диаметре. Следовательно, все внутренние точки отрезка $AO$ лежат внутри этой сферы. Поскольку центр сферы, радиус которой мы ищем, лежит на $AO$} то возможно лишь внутреннее касание сфер.
Центр $O_2$ вписанной сферы соединим с точкой $F$, в которой происходит касание сферы с одной из граней. Из подобия треугольников $FO_2A$ и $OKA$ имеем
$\frac {AO_2}{a \frac{ \sqrt {3}}{2}} = \frac {r}{a \frac{ \sqrt {3}}{6}}$, т. е. $AO_2 = 3r$,
где $r$ - искомый радиус.
Cпроектируем точку $O_1$ на $AO$ и рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1EO_2$. B нем $O_1O_2$ равно разности радиусов, т. е. $O_1O_2 = \frac{a}{2} - r$; $EO_1$ равно половине $OB$, т. е. $EO_1 = \frac {a \sqrt {3}}{6}$. Отрезок $O_2E = |AE - AO_2|$. Знак абсолютной величины означает, что точка $O_2$ может оказаться ниже точки $E$ либо выше ее (см. рис., на котором изображены оба случая). Так как $AE = \frac{1}{2} AO = \frac{a}{ \sqrt {6}}$, а $AO_2 = 3r$, $O_1E = \left | \frac {a}{\sqrt {6}} - 3 r \right |$.
По теореме Пифагора $O_2O_{1}^{2} = O_2E^2 + EAO_{1}^{2}$, т.е.
$\left ( \frac{a}{2} - r \right )^2 = \left ( \frac{a}{ \sqrt {6}} - 3r \right )^2 + \frac{a^2}{12}$.
После простых преобразований получим уравнение
$8r^2 + (1 - \sqrt {6}) ar = 0$,
откуда
$r = \frac {\sqrt {6} - 1}{8}a$.
Так как $AO_2 = 3r$, то $AO_2 = \frac {3 (\sqrt {6} - 1)}{8}a$, в то время как $AE = \frac{a}{ \sqrt {6}}$. Сравнивая $AO_2$ и $AE$, мы видим, что $AO_2$ больше. Следовательно, точка $O_2$ на рис. должна располагаться ниже точки $E$.
Ответ. $\frac {\sqrt {6} - 1}{8}a$.
