ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-03-20   
Hа плоскости уложены $n$ равных прямых конусов, имеющих общую вершину в точке, лежащей на этой плоскости. Каждый конус касается двух других конусов. Найти угол при вершине конуса в осевом сечении.


Решение:



Пусть $SO_1$ и $SO_2$ - оси соседних конусов (рис.). Тогда середина $C$ отрезка $O_1O_2$ лежит на общей образующей этих конусов. Угол $O_1SO_2$ равен углу в осевом сечении конуса, обозначим его через $х$. Тогда углы $O_1SA_1$ и $O_2SA_2$ равны $\frac{x}{2}$.
Проекции осей $SO_1$ и $SO_2$ на плоскость $P$ лежат на образующих, по которым происходит касание конусов с плоскостью $P$. Так как конусов $n$, то угол $A_1SA_2 = \frac{ 2 \pi}{n}$.

Отрезок $SO_1$ можно выразить через $A_1B$ двумя способами. С одной стороны, $SO_1 = \frac {O_1C}{\sin \frac{x}{2}} = \frac {A_1B}{\sin \frac{x}{2}}$. С другой стороны, $SO_1 = \frac {SA_1}{\cos \frac{x}{2}}$, а так как

$SA_1 = \frac {A_1B}{\sin \frac{ \pi}{n}}$, то $SO_1 = \frac {A_1B}{\sin \frac{ \pi}{n} \cos \frac{x}{2}}$.

Приравнивая полученные для $SO_1$ выражения, получим

$tg \frac{x}{2} = \sin \frac{ \pi}{n}$.
Ответ. $x = 2 arctg \left ( \sin \frac{ \pi}{n} \right )$.